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中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析中考數學真題分項匯編(全國通用)專題14圓與正多邊形一.選擇題1.(浙江嘉興·中考真題)如圖,在⊙O中,∠BOC=130°,點A在上,則∠BAC的度數為()A.55°B.65°C.75°D.130°【答案】B【分析】利用圓周角直接可得答案.【詳解】解:∠BOC=130°,點A在上,故選B【點睛】本題考查的是圓周角定理的應用,掌握“同圓或等圓中,同弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半”是解本題的關鍵.2.(山東濱州·中考真題)如圖,在中,弦相交于點P,若,則的大小為(???????)A.B.C.D.【答案】A【分析】根據三角形的外角的性質可得,求得,再根據同弧所對的圓周角相等,即可得到答案.【詳解】,,
1中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析故選:A.【點睛】本題考查了圓周角定理及三角形的外角的性質,熟練掌握知識點是解題的關鍵.3.(江蘇連云港·中考真題)如圖,有一個半徑為2的圓形時鐘,其中每個刻度間的弧長均相等,過9點和11點的位置作一條線段,則鐘面中陰影部分的面積為(???????)A.B.C.D.【答案】B【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積,分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可.【詳解】解:如圖,過點OC作OD⊥AB于點D,∵∠AOB=2×=60°,∴△OAB是等邊三角形,∴∠AOD=∠BOD=30°,OA=OB=AB=2,AD=BD=AB=1,∴OD=,
2中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴陰影部分的面積為,故選:B.【點睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計算方法,掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計算方法是正確解答的關鍵.4.(湖北武漢·中考真題)如圖,在四邊形材料中,,,,,.現用此材料截出一個面積最大的圓形模板,則此圓的半徑是(???????)A.B.C.D.【答案】B【分析】如圖所示,延長BA交CD延長線于E,當這個圓為△BCE的內切圓時,此圓的面積最大,據此求解即可.【詳解】解:如圖所示,延長BA交CD延長線于E,當這個圓為△BCE的內切圓時,此圓的面積最大,∵,∠BAD=90°,∴△EAD∽△EBC,∠B=90°,∴,即,∴,∴EB=32cm,∴,設這個圓的圓心為O,與EB,BC,EC分別相切于F,G,H,∴OF=OG=OH,∵,∴,∴,
3中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴,∴此圓的半徑為8cm,故選B.【點睛】本題主要考查了三角形內切圓半徑與三角形三邊的關系,勾股定理,正確作出輔助線是解題的關鍵.5.(湖北宜昌·中考真題)如圖,四邊形內接于,連接,,,若,則(???????)A.B.C.D.【答案】B【分析】根據圓內接四邊形的性質求出,根據圓周角定理可得,再根據計算即可.【詳解】∵四邊形內接于,∴,由圓周角定理得,,∵∴故選:B.【點睛】此題考查圓周角定理和圓內接四邊形的性質,掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵.
4中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析6.(四川德陽·中考真題)如圖,點是的內心,的延長線和的外接圓相交于點,與相交于點,則下列結論:①;②若,則;③若點為的中點,則;④.其中一定正確的個數是(???????)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】根據點是的內心,可得,故①正確;連接BE,CE,可得∠ABC+∠ACB=2(∠CBE+∠BCE),從而得到∠CBE+∠BCE=60°,進而得到∠BEC=120°,故②正確;,得出,再由點為的中點,則成立,故③正確;根據點是的內心和三角形的外角的性質,可得,再由圓周角定理可得,從而得到∠DBE=∠BED,故④正確;即可求解.【詳解】解:∵點是的內心,∴,故①正確;如圖,連接BE,CE,∵點是的內心,∴∠ABC=2∠CBE,∠ACB=2∠BCE,∴∠ABC+∠ACB=2(∠CBE+∠BCE),∵∠BAC=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∴∠CBE+∠BCE=60°,∴∠BEC=120°,故②正確;
5中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∵點是的內心,∴,∴,∵點為的中點,∴線段AD經過圓心O,∴成立,故③正確;∵點是的內心,∴,∵∠BED=∠BAD+∠ABE,∴,∵∠CBD=∠CAD,∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD,∴,∴∠DBE=∠BED,∴,故④正確;∴正確的有4個.故選:D【點睛】本題主要考查了三角形的內心問題,圓周角定理,三角形的內角和等知識,熟練掌握三角形的內心問題,圓周角定理,三角形的內角和等知識是解題的關鍵.7.(湖南株洲·中考真題)如圖所示,等邊的頂點在⊙上,邊、與⊙分別交于點、,點是劣弧上一點,且與、不重合,連接、,則的度數為(???????)A.B.C.D.【答案】C【分析】根據等邊三角形的性質可得,再根據圓內接四邊形的對角互補即可求得答案.【詳解】解:是等邊三角形,,,故選C.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質及圓內接四邊形的性質,熟練掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵.8.(甘肅武威·中考真題)大自然中有許多小動物都是“小數學家”,如圖1,蜜蜂的蜂巢結構非常精巧、實用而且節(jié)省材料,多名學者通過觀測研究發(fā)現:蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形.如圖2,一個巢房的橫截面為正六邊形,若對角線的長約為8mm,則正六邊形的邊長為(?????)
6中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析A.2mmB.C.D.4mm【答案】D【分析】如圖,連接CF與AD交于點O,易證△COD為等邊三角形,從而CD=OC=OD=AD,即可得到答案.【詳解】連接CF與AD交于點O,∵為正六邊形,∴∠COD==60°,CO=DO,AO=DO=AD=4mm,∴△COD為等邊三角形,∴CD=CO=DO=4mm,即正六邊形的邊長為4mm,故選:D.【點睛】本題考查了正多邊形與圓的性質,正確把握正六邊形的中心角、半徑與邊長的關系是解題的關鍵.9.(湖南邵陽·中考真題)如圖,⊙O是等邊△ABC的外接圓,若AB=3,則⊙O的半徑是(???????)A.B.C.D.
7中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析【答案】C【分析】作直徑AD,連接CD,如圖,利用等邊三角形的性質得到∠B=60°,關鍵圓周角定理得到∠ACD=90°,∠D=∠B=60°,然后利用含30度的直角三角形三邊的關系求解.【詳解】解:作直徑AD,連接CD,如圖,∵△ABC為等邊三角形,∴∠B=60°,∵AD為直徑,∴∠ACD=90°,∵∠D=∠B=60°,則∠DAC=30°,∴CD=AD,∵AD2=CD2+AC2,即AD2=(AD)2+32,∴AD=2,∴OA=OB=AD=.故選:C.【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心:三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點,叫做三角形的外心.也考查了等邊三角形的性質、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關系.10.(四川眉山·中考真題)如圖是不倒翁的主視圖,不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿,分別相切于點,,不倒翁的鼻尖正好是圓心,若,則的度數為(???????)A.B.C.D.【答案】C
8中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析【分析】連OB,由AO=OB得,∠OAB=∠OBA=28°,∠AOB=180°-2∠OAB=124°;因為PA、PB分別相切于點A、B,則∠OAP=∠OBP=90°,利用四邊形內角和即可求出∠APB.【詳解】連接OB,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=28°,∴∠AOB=124°,∵PA、PB切⊙O于A、B,∴OA⊥PA,OP⊥AB,∴∠OAP+∠OBP=180°,∴∠APB+∠AOB=180°;∴∠APB=56°.故選:C【點睛】本題考查切線的性質,三角形和四邊形的內角和定理,切線長定理,等腰三角形的性質等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造等腰三角形解決問題.11.(浙江湖州·中考真題)在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中,每個小正方形的頂點稱為格點.如圖,在6×6的正方形網格圖形ABCD中,M,N分別是AB,BC上的格點,BM=4,BN=2.若點P是這個網格圖形中的格點,連接PM,PN,則所有滿足∠MPN=45°的△PMN中,邊PM的長的最大值是(???)
9中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析A.B.6C.D.【答案】C【分析】根據同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半,過點M、N作以點O為圓心,∠MON=90°的圓,則點P在所作的圓上,觀察圓O所經過的格點,找出到點M距離最大的點即可求出.【詳解】作線段MN中點Q,作MN的垂直平分線OQ,并使OQ=MN,以O為圓心,OM為半徑作圓,如圖,因為OQ為MN垂直平分線且OQ=MN,所以OQ=MQ=NQ,∴∠OMQ=∠ONQ=45°,∴∠MON=90°,所以弦MN所對的圓O的圓周角為45°,所以點P在圓O上,PM為圓O的弦,通過圖像可知,當點P在位置時,恰好過格點且經過圓心O,所以此時最大,等于圓O的直徑,∵BM=4,BN=2,∴,∴MQ=OQ=,∴OM=,∴,故選C.【點睛】此題考查了圓的相關知識,熟練掌握同弧所對的圓周角相等、直徑是圓上最大的弦,會靈活用已知圓心角和弦作圓是解題的關鍵.12.(四川遂寧·中考真題)如圖,圓錐底面圓半徑為7cm,高為24cm,則它側面展開圖的面積是(???????)
10中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析A.cm2B.cm2C.cm2D.cm2【答案】C【分析】先利用勾股定理計算出AC=25cm,由于圓錐的側面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,扇形的半徑等于圓錐的母線長,則可根據扇形的面積公式計算出圓錐的側面積.【詳解】解:在中,cm,∴它側面展開圖的面積是cm2.故選:C【點睛】本題考查了圓錐的計算,理解圓錐的側面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,扇形的半徑等于圓錐的母線長是解題的關鍵.13.(陜西·中考真題)如圖,內接于⊙,連接,則(???????)A.B.C.D.【答案】A【分析】連接OB,由2∠C=∠AOB,求出∠AOB,再根據OA=OB即可求出∠OAB.【詳解】連接OB,如圖,
11中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∵∠C=46°,∴∠AOB=2∠C=92°,∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∴∠OAB=∠OBA=×88°=44°,故選:A.【點睛】本題主要考查了圓周角定理,根據圓周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本題的關鍵.14.(浙江寧波·中考真題)已知圓錐的底面半徑為,母線長為,則圓錐的側面積為(???????)A.B.C.D.【答案】B【分析】利用圓錐側面積計算公式計算即可:;【詳解】,故選B.【點睛】本題考查了圓錐側面積的計算公式,比較簡單,直接代入公式計算即可.15.(甘肅武威·中考真題)如圖,一條公路(公路的寬度忽略不計)的轉彎處是一段圓弧(),點是這段弧所在圓的圓心,半徑,圓心角,則這段彎路()的長度為(?????)A.B.C.D.【答案】C【分析】根據題目中的數據和弧長公式,可以計算出這段彎路()的長度.
12中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析【詳解】解:∵半徑OA=90m,圓心角∠AOB=80°,這段彎路()的長度為:,故選C【點睛】本題考查了弧長的計算,解答本題的關鍵是明確弧長計算公式16.(浙江溫州·中考真題)如圖,是的兩條弦,于點D,于點E,連結,.若,則的度數為(???????)A.B.C.D.【答案】B【分析】根據四邊形的內角和等于360°計算可得∠BAC=50°,再根據圓周角定理得到∠BOC=2∠BAC,進而可以得到答案.【詳解】解:∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴∠ADO=90°,∠AEO=90°,∵∠DOE=130°,∴∠BAC=360°-90°-90°-130°=50°,∴∠BOC=2∠BAC=100°,故選:B.【點睛】本題考查的是圓周角定理,在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半.17.(山東泰安·中考真題)如圖,點I為的內心,連接并延長交的外接圓于點D,點E為弦的中點,連接,,,當,,時,的長為(???????)
13中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析A.5B.4.5C.4D.3.5【答案】C【分析】延長ID到M,使DM=ID,連接CM.想辦法求出CM,證明IE是△ACM的中位線即可解決問題.【詳解】解:延長ID到M,使DM=ID,連接CM.∵I是△ABC的內心,∴∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB,∵∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+∠ICB,∴∠DIC=∠DCI,∴DI=DC=DM,∴∠ICM=90°,∴CM==8,∵AI=2CD=10,∴AI=IM,∵AE=EC,∴IE是△ACM的中位線,∴IE=CM=4,故選:C.
14中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析【點睛】本題考查三角形的內心、三角形的外接圓、三角形的中位線定理、直角三角形的判定、勾股定理等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造三角形中位線解決問題.18.(浙江麗水·中考真題)某仿古墻上原有一個矩形的門洞,現要將它改為一個圓弧形的門洞,圓弧所在的圓外接于矩形,如圖.已知矩形的寬為,高為,則改建后門洞的圓弧長是(???????)A.B.C.D.【答案】C【分析】利用勾股定理先求得圓弧形的門洞的直徑BC,再利用矩形的性質證得是等邊三角形,得到,進而求得門洞的圓弧所對的圓心角為,利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖,連接,,交于點,∵,∴是直徑,∴,∵四邊形是矩形,∴,∵,∴,∴是等邊三角形,∴,
15中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴門洞的圓弧所對的圓心角為,∴改建后門洞的圓弧長是(m),故選:C【點睛】本題考查了弧長公式,矩形的性質以及勾股定理的應用,從實際問題轉化為數學模型是解題的關鍵.19.(四川成都·中考真題)如圖,正六邊形內接于⊙,若⊙的周長等于,則正六邊形的邊長為(???????)A.B.C.3D.【答案】C【分析】連接OB,OC,由⊙O的周長等于6π,可得⊙O的半徑,又由圓的內接多邊形的性質,即可求得答案.【詳解】解:連接OB,OC,∵⊙O的周長等于6π,∴⊙O的半徑為:3,∵∠BOC360°=60°,∵OB=OC,∴△OBC是等邊三角形,∴BC=OB=3,
16中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴它的內接正六邊形ABCDEF的邊長為3,故選:C.【點睛】此題考查了正多邊形與圓的性質.此題難度適中,注意掌握數形結合思想的應用.20.(四川涼山·中考真題)家具廠利用如圖所示直徑為1米的圓形材料加工成一種扇形家具部件,已知扇形的圓心角∠BAC=90°,則扇形部件的面積為(???????)A.米2B.米2C.米2D.米2【答案】C【分析】連接,先根據圓周角定理可得是的直徑,從而可得米,再解直角三角形可得米,然后利用扇形的面積公式即可得.【詳解】解:如圖,連接,,是的直徑,米,又,,(米),則扇形部件的面積為(米2),故選:C.【點睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、扇形的面積公式等知識點,熟練掌握圓周角定理和扇形的面積公式是解題關鍵.二.填空題21.(江蘇宿遷·中考真題)如圖,在正六邊形ABCDEF中,AB=6,點M在邊AF上,且AM=2.若經過點M的直線l
17中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析將正六邊形面積平分,則直線l被正六邊形所截的線段長是_____.【答案】【分析】如圖,連接AD,CF,交于點O,作直線MO交CD于H,過O作OP⊥AF于P,由正六邊形是軸對稱圖形可得:由正六邊形是中心對稱圖形可得:可得直線MH平分正六邊形的面積,O為正六邊形的中心,再利用直角三角形的性質可得答案.【詳解】解:如圖,連接AD,CF,交于點O,作直線MO交CD于H,過O作OP⊥AF于P,由正六邊形是軸對稱圖形可得:由正六邊形是中心對稱圖形可得:∴直線MH平分正六邊形的面積,O為正六邊形的中心,由正六邊形的性質可得:為等邊三角形,而則故答案為:【點睛】本題考查的是正多邊形與圓的知識,掌握“正六邊形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形”是解本題的關鍵.
18中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析22.(湖南衡陽·中考真題)如圖,用一個半徑為6cm的定滑輪拉動重物上升,滑輪旋轉了,假設繩索粗細不計,且與輪滑之間沒有滑動,則重物上升了_________cm.(結果保留)【答案】【分析】利用題意得到重物上升的高度為定滑輪中120°所對應的弧長,然后根據弧長公式計算即可.【詳解】解:根據題意,重物的高度為(cm).故答案為:.【點睛】本題考查了弧長公式:(弧長為l,圓心角度數為n,圓的半徑為R).23.(浙江杭州·中考真題)如圖是以點O為圓心,AB為直徑的圓形紙片,點C在⊙O上,將該圓形紙片沿直線CO對折,點B落在⊙O上的點D處(不與點A重合),連接CB,CD,AD.設CD與直徑AB交于點E.若AD=ED,則∠B=_________度;的值等于_________.【答案】????36????【分析】由等腰三角形的性質得出∠DAE=∠DEA,證出∠BEC=∠BCE,由折疊的性質得出∠ECO=∠BCO,設∠ECO=∠OCB=∠B=x,證出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x,∠CEB=2x,由三角形內角和定理可得出答案;證明△CEO∽△BEC,由相似三角形的性質得出,設EO=x,EC=OC=OB=a,得出a2=x(x+a),求出OE=a,證明△BCE∽△DAE,
19中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析由相似三角形的性質得出,則可得出答案.【詳解】解:∵AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,∵∠DEA=∠BEC,∠DAE=∠BCE,∴∠BEC=∠BCE,∵將該圓形紙片沿直線CO對折,∴∠ECO=∠BCO,又∵OB=OC,∴∠OCB=∠B,設∠ECO=∠OCB=∠B=x,∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x,∴∠CEB=2x,∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°,∴x+2x+2x=180°,∴x=36°,∴∠B=36°;∵∠ECO=∠B,∠CEO=∠CEB,∴△CEO∽△BEC,∴,∴CE2=EO?BE,設EO=x,EC=OC=OB=a,∴a2=x(x+a),解得,x=a(負值舍去),∴OE=a,∴AE=OA-OE=a-a=a,∵∠AED=∠BEC,∠DAE=∠BCE,∴△BCE∽△DAE,∴,
20中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴.故答案為:36,.【點睛】本題是圓的綜合題,考查了圓周角定理,折疊的性質,等腰三角形的判定與性質,三角形內角和定理,相似三角形的判定與性質,熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.24.(浙江湖州·中考真題)如圖,已知AB是⊙O的弦,∠AOB=120°,OC⊥AB,垂足為C,OC的延長線交⊙O于點D.若∠APD是所對的圓周角,則∠APD的度數是______.【答案】30°##30度【分析】根據垂徑定理得出∠AOB=∠BOD,進而求出∠AOD=60°,再根據圓周角定理可得∠APD=∠AOD=30°.【詳解】∵OC⊥AB,OD為直徑,∴,∴∠AOB=∠BOD,∵∠AOB=120°,∴∠AOD=60°,∴∠APD=∠AOD=30°,故答案為:30°.【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識,掌握垂徑定理是解答本題的關鍵.25.(云南·中考真題)某中學開展勞動實習,學生到教具加工廠制作圓錐,他們制作的圓錐,母線長為30cm,底面圓的半徑為10cm,這種圓錐的側面展開圖的圓心角度數是_____.【答案】【分析】設這種圓錐的側面展開圖的圓心角度數為n,,進行解答即可得.【詳解】解:設這種圓錐的側面展開圖的圓心角度數為n°,故答案為:.【點睛】本題考查了圓錐側面展開圖的圓心角,解題的關鍵是掌握扇形的弧長公式.26.(浙江寧波·中考真題)如圖,在△ABC中,AC=2,BC=4,點O在BC上,以OB為半徑的圓與AC相切于點A,D是BC
21中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析邊上的動點,當△ACD為直角三角形時,AD的長為___________.【答案】或【分析】根據切線的性質定理,勾股定理,直角三角形的等面積法解答即可.【詳解】解:連接OA,①當D點與O點重合時,∠CAD為90°,設圓的半徑=r,∴OA=r,OC=4-r,∵AC=4,在Rt△AOC中,根據勾股定理可得:r2+4=(4-r)2,解得:r=,即AD=AO=;②當∠ADC=90°時,過點A作AD⊥BC于點D,∵AO?AC=OC?AD,∴AD=,∵AO=,AC=2,OC=4-r=,∴AD=,綜上所述,AD的長為或,故答案為:或.【點睛】本題主要考查了切線的性質和勾股定理,熟練掌握這些性質定理是解決本題的關鍵.27.(四川自貢·中考真題)一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊,其中一塊如圖所示,測得弦長20厘米,弓形高為2厘米,則鏡面半徑為____________厘米.【答案】26
22中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析【分析】令圓O的半徑為OB=r,則OC=r-2,根據勾股定理求出OC2+BC2=OB2,進而求出半徑.【詳解】解:如圖,由題意,得OD垂直平分AB,∴BC=10厘米,令圓O的半徑為OB=r,則OC=r-2,在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2,∴(r-2)2+102=r2,解得r=26.故答案為:26.【點睛】本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長,熟練地掌握圓的基本性質是解決問題的關鍵.28.(浙江溫州·中考真題)若扇形的圓心角為,半徑為,則它的弧長為___________.【答案】π【分析】根據題目中的數據和弧長公式,可以計算出該扇形的弧長.【詳解】解:∵扇形的圓心角為120°,半徑為,∴它的弧長為:故答案為:【點睛】本題考查弧長的計算,解答本題的關鍵是明確弧長的計算公式29.(新疆·中考真題)如圖,⊙的半徑為2,點A,B,C都在⊙上,若.則的長為_____(結果用含有的式子表示)【答案】【分析】利用同弧所對的圓心角是圓周角的2倍得到,再利用弧長公式求解即可.【詳解】,,,
23中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析⊙的半徑為2,,故答案為:.【點睛】本題考查了圓周角定理和弧長公式,即,熟練掌握知識點是解題的關鍵.30.(四川瀘州·中考真題)如圖,在中,,,,半徑為1的在內平移(可以與該三角形的邊相切),則點到上的點的距離的最大值為________.【答案】【分析】設直線AO交于M點(M在O點右邊),當與AB、BC相切時,AM即為點到上的點的最大距離.【詳解】設直線AO交于M點(M在O點右邊),則點到上的點的距離的最大值為AM的長度當與AB、BC相切時,AM最長設切點分別為D、F,連接OB,如圖∵,,∴,∴∵與AB、BC相切∴∵的半徑為1∴∴∴∴∴
24中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴點到上的點的距離的最大值為.【點睛】本題考查切線的性質、特殊角度三角函數值、勾股定理,解題的關鍵是確定點到上的點的最大距離的圖形.31.(浙江嘉興·中考真題)如圖,在廓形中,點C,D在上,將沿弦折疊后恰好與,相切于點E,F.已知,,則的度數為_______;折痕的長為_______.【答案】????60°##60度????【分析】根據對稱性作O關于CD的對稱點M,則點D、E、F、B都在以M為圓心,半徑為6的圓上,再結合切線的性質和垂徑定理求解即可.【詳解】作O關于CD的對稱點M,則ON=MN連接MD、ME、MF、MO,MO交CD于N∵將沿弦折疊∴點D、E、F、B都在以M為圓心,半徑為6的圓上∵將沿弦折疊后恰好與,相切于點E,F.∴ME⊥OA,MF⊥OB∴∵∴四邊形MEOF中即的度數為60°;
25中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∵,∴(HL)∴∴∴∵MO⊥DC∴∴故答案為:60°;【點睛】本題考查了折疊的性質、切線的性質、垂徑定理、勾股定理;熟練掌握折疊的性質作出輔助線是解題的關鍵.三.解答題32.(四川成都·中考真題)如圖,在中,,以為直徑作⊙,交邊于點,在上取一點,使,連接,作射線交邊于點.(1)求證:;(2)若,,求及的長.【答案】(1)見解析(2)BF=5,【分析】(1)根據中,,得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°,根據,得到∠B=∠BCF,推出∠A=∠ACF;(2)根據∠B=∠BCF,∠A=∠ACF,得到AF=CF,BF=CF,推出AF=BF=AB,根據,AC=8,得到AB=10,得到BF=5,根據,得到,連接CD,根據BC是⊙O的直徑,得到∠BDC=90°,推出∠B+∠BCD=90°,推出∠A=∠BCD,得到,推出,得到,根據
26中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∠FDE=∠BCE,∠B=∠BCE,得到∠FDE=∠B,推出DE∥BC,得到△FDE∽△FBC,推出,得到.(1)解:∵中,,∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°,∵,∴∠B=∠BCF,∴∠A=∠ACF;(2)∵∠B=∠BCF,∠A=∠ACF∴AF=CF,BF=CF,∴AF=BF=AB,∵,AC=8,∴AB=10,∴BF=5,∵,∴,連接CD,∵BC是⊙O的直徑,∴∠BDC=90°,∴∠B+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD,∴,∴,∴,∵∠FDE=∠BCE,∠B=∠BCE,∴∠FDE=∠B,∴DE∥BC,∴△FDE∽△FBC,∴,
27中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴.【點睛】本題主要考查了圓周角,解直角三角形,勾股定理,相似三角形,解決問題的關鍵是熟練掌握圓周角定理及推論,運用勾股定理和正弦余弦解直角三角形,相似三角形的判定和性質.33.(山東濱州·中考真題)如圖,已知AC為的直徑,直線PA與相切于點A,直線PD經過上的點B且,連接OP交AB于點M.求證:(1)PD是的切線;(2)【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)連接OB,由等邊對等角及直徑所對的圓周角等于90°即可證明;(2)根據直線PA與相切于點A,得到,根據余角的性質得到,繼而證明,根據相似三角形的性質即可得到結論.(1)連接OB,
28中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析,,AC為的直徑,,,,,PD是的切線;(2)直線PA與相切于點A,,∵PD是的切線,,,,,,.【點睛】本題考查了切線的判定和性質,相似三角形的判定和性質,圓周角定理,等腰三角形的性質,熟練掌握知識點是解題的關鍵.34.(四川瀘州·中考真題)如圖,點在以為直徑的上,平分交于點,交于點,過點作的切線交的延長線于點.(1)求證:;(2)若,,求的長.【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)連接OD,由CD平分∠ACB,可知,得∠AOD=∠BOD=90°,由DF是切線可知∠ODF=90°=∠AOD,
29中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析可證結論;(2)過C作CM⊥AB于M,已求出CM、BM、OM的值,再證明△DOF∽△MCO,得,代入可求.(1)證明:連接OD,如圖,∵CD平分∠ACB,∴,∴∠AOD=∠BOD=90°,∵DF是⊙O的切線,∴∠ODF=90°∴∠ODF=∠BOD,∴DF∥AB.(2)解:過C作CM⊥AB于M,如圖,∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,∴AB=.∴,即,∴CM=2,∴,
30中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴OM=OB-BM=,∵DF∥AB,∴∠OFD=∠COM,又∵∠ODF=∠CMO=90°,∴△DOF∽△MCO,???∴,即,∴FD=.【點睛】本題考查了圓的圓心角、弦、弧關系定理、圓周角定理,切線的性質,相似三角形的判定與性質,勾股定理,解題的關鍵是熟練掌握這些定理,靈活運用相似三角形的性質求解.35.(四川南充·中考真題)如圖,為的直徑,點C是上一點,點D是外一點,,連接交于點E.(1)求證:是的切線.(2)若,求的值.【答案】(1)見解析;(2)3【分析】(1)連接OC,根據圓周角定理得到∠ACB=90°,根據OA=OC推出∠BCD=∠ACO,即可得到∠BCD+∠OCB=90°,由此得到結論;(2)過點O作OF⊥BC于F,設BC=4x,則AB=5x,OA=CE=2.5x,BE=1.5x,勾股定理求出AC,根據OF∥AC,得到,證得OF為△ABC的中位線,求出OF及EF,即可求出的值.(1)證明:連接OC,
31中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∵為的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠OCB=90°,∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∵,∴∠BCD=∠ACO,∴∠BCD+∠OCB=90°,∴OC⊥CD,∴是的切線.(2)解:過點O作OF⊥BC于F,∵,∴設BC=4x,則AB=5x,OA=CE=2.5x,∴BE=BC-CE=1.5x,∵∠C=90°,∴AC=,∵OA=OB,OF∥AC,∴,∴CF=BF=2x,EF=CE-CF=0.5x,∴OF為△ABC的中位線,∴OF=,∴=.【點睛】此題考查了圓周角定理,證明直線是圓的切線,銳角三角函數,三角形中位線的判定與性質,平行線分線段成比例,正確引出輔助線是解題的關鍵.
32中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析36.(江蘇揚州·中考真題)如圖,為的弦,交于點,交過點的直線于點,且.(1)試判斷直線與的位置關系,并說明理由;(2)若,求的長.【答案】(1)相切,證明見詳解(2)6【分析】(1)連接OB,根據等腰三角形的性質得出,,從而求出,再根據切線的判定得出結論;(2)分別作交AB于點M,交AB于N,根據求出OP,AP的長,利用垂徑定理求出AB的長,進而求出BP的長,然后在等腰三角形CPB中求解CB即可.(1)證明:連接OB,如圖所示:,,,,,,即,,,
33中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析為半徑,經過點O,直線與的位置關系是相切.(2)分別作交AB于點M,交AB于N,如圖所示:,,,,,,,,,,.【點睛】本題考查了切線的證明,垂徑定理的性質,等腰三角形,勾股定理,三角函數等知識點,熟練掌握相關知識并靈活應用是解決此題的關鍵,抓住直角三角形邊的關系求解線段長度是解題的主線思路.37.(江蘇宿遷·中考真題)如圖,在網格中,每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點,點、、、、均為格點.【操作探究】在數學活動課上,佳佳同學在如圖①的網格中,用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段、,相交于點并給出部分說理過程,請你補充完整:解:在網格中取格點,構建兩個直角三角形,分別是△ABC和△CDE.
34中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析在Rt△ABC中,在Rt△CDE中,,所以.所以∠=∠.因為∠∠=∠=90°,所以∠+∠=90°,所以∠=90°,即⊥.(1)【拓展應用】如圖②是以格點為圓心,為直徑的圓,請你只用無刻度的直尺,在上找出一點P,使=,寫出作法,并給出證明:(2)【拓展應用】如圖③是以格點為圓心的圓,請你只用無刻度的直尺,在弦上找出一點P.使=·,寫出作法,不用證明.
35中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析【答案】(1);見解析(2)見解析【分析】(1)取BM的中點Q,作射線OQ交于點P,點P即為所求作,利用全等三角形的判定和性質證得MO=BO,再利用等腰三角形的性質即可證明;(2)取格點I,連接MI交AB于點P,點P即為所求作.利用正切函數證得∠FMI=∠MNA,利用圓周角定理證得∠B=∠MNA,再推出△PAM∽△MAB,即可證明結論.(1)解:【操作探究】在網格中取格點,構建兩個直角三角形,分別是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中,在Rt△CDE中,,所以.所以∠=∠.因為∠∠=∠=90°,所以∠+∠=90°,所以∠=90°,即⊥.故答案為:;取BM的中點Q,作射線OQ交于點P,點P即為所求作;證明:在△OGM和△OHB中,OG=OH=1,∠OGM=∠OHB=90°,MG=BH=3,∴△OGM≌△OHB,∴MO=BO,∵點Q是BM的中點,∴OQ平分∠MOB,即∠POM=∠POB,∴=;
36中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析(2)解:取格點I,連接MI交AB于點P,點P即為所求作;證明:作直徑AN,連接BM、MN,在Rt△FMI中,,在Rt△MNA中,,所以.∴∠FMI=∠MNA,∵∠B=∠MNA,∴∠AMP=∠B,∵∠PAM=∠MAB,∴△PAM∽△MAB,∴,∴=·.【點睛】本題考查作圖-應用與設計,相似三角形的判定和性質,圓周角定理,解直角三角形等知識,解題的關鍵是理解題意,靈活運用所學知識解決問題.38.(四川樂山·中考真題)如圖,線段AC為⊙O的直徑,點D、E在⊙O上,=,過點D作DF⊥AC,垂足為點F.連結CE交DF于點G.
37中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析(1)求證:CG=DG;(2)已知⊙O的半徑為6,,延長AC至點B,使.求證:BD是⊙O的切線.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)連接AD,得到∠ADF+∠FDC=90°,由DF⊥AC,得到∠ADF+∠DAF=90°,再由=,可推出∠DCE=∠FDC,即可證明CG=DG;(2)要證明BD是⊙O的切線,只要證明OD⊥BD,只要證明BD∥CE,通過計算求得sin∠B=,即可證明結論.(1)證明:連接AD,∵AC為⊙O的直徑,∴∠ADC=90°,則∠ADF+∠FDC=90°,∵DF⊥AC,∴∠AFD=90°,則∠ADF+∠DAF=90°,∴∠FDC=∠DAF,∵=,∴∠DCE=∠DAC,∴∠DCE=∠FDC,∴CG=DG;(2)證明:連接OD,設OD與CE相交于點H,∵=,∴OD⊥EC,∵DF⊥AC,
38中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴∠ODF=∠OCH=∠ACE,∵,∴sin∠ODF=sin∠OCH=,即=,∴OF=,由勾股定理得DF=,FC=OC-OF=,∴FB=FC+BC=,由勾股定理得DB==8,∴sin∠B==,∴∠B=∠ACE,∴BD∥CE,∵OD⊥EC,∴OD⊥BD,∵OD是半徑,∴BD是⊙O的切線.【點睛】本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識點,熟練掌握圓的切線的判定及圓中的相關計算是解題的關鍵.39.(天津·中考真題)已知為的直徑,,C為上一點,連接.(1)如圖①,若C為的中點,求的大小和的長;(2)如圖②,若為的半徑,且,垂足為E,過點D作的切線,與的延長線相交于點F,求的長.
39中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析【答案】(1),(2)【分析】(1)由圓周角定理得,由C為的中點,得,從而,即可求得的度數,通過勾股定理即可求得AC的長度;(2)證明四邊形為矩形,FD=CE=CB,由勾股定理求得BC的長,即可得出答案.(1)∵為的直徑,∴,由C為的中點,得,∴,得,在中,,∴;根據勾股定理,有,又,得,∴;(2)∵是的切線,∴,即,∵,垂足為E,∴,同(1)可得,有,∴,∴四邊形為矩形,∴,于是,在中,由,得,∴.【點睛】本題是圓的綜合題,考查了圓周角定理,切線的性質,等腰直角三角形的性質,垂徑定理,勾股定理和矩形的判定和性質等,解題的關鍵是利用數形結合的思想解答此題.40.(江蘇宿遷·中考真題)如圖,在中,∠=45°,,以為直徑的⊙與邊交于點.
40中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析(1)判斷直線與⊙的位置關系,并說明理由;(2)若,求圖中陰影部分的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用等腰三角形的性質與三角形的內角和定理證明從而可得結論;(2)如圖,記BC與的交點為M,連接OM,先證明再利用陰影部分的面積等于三角形ABC的面積減去三角形BOM的面積,減去扇形AOM的面積即可.(1)證明:∠=45°,,即在上,為的切線.(2)如圖,記BC與的交點為M,連接OM,,,,,,,.
41中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質,切線的判定,扇形面積的計算,掌握“切線的判定方法與割補法求解不規(guī)則圖形面積的方法”是解本題的關鍵.41.(浙江湖州·中考真題)如圖,已知在Rt△ABC中,,D是AB邊上一點,以BD為直徑的半圓O與邊AC相切,切點為E,過點O作,垂足為F.(1)求證:;(2)若,,求AD的長.【答案】(1)見解析(2)1【分析】(1)連接OE,根據已知條件和切線的性質證明四邊形OFCE是矩形,再根據矩形的性質證明即可;(2)根據題意,結合(1)可知,再由直角三角形中“30°角所對的直角邊是斜邊的一般”的性質,可推導,最后由計算AD的長即可.(1)解:如圖,連接OE,∵AC切半圓O于點E,∴OE⊥AC,∵OF⊥BC,,∴∠OEC=∠OFC=∠C=90°.∴四邊形OFCE是矩形,
42中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴OF=EC;(2)∵,∴,∵,OE⊥AC,∴,∴.【點睛】本題主要考查了切線的性質、矩形的判定與性質以及含30°角的直角三角形性質等知識,正確作出輔助線并靈活運用相關性質是解題關鍵.42.(山東泰安·中考真題)問題探究(1)在中,,分別是與的平分線.①若,,如圖,試證明;②將①中的條件“”去掉,其他條件不變,如圖,問①中的結論是否成立?并說明理由.遷移運用(2)若四邊形是圓的內接四邊形,且,,如圖,試探究線段,,之間的等量關系,并證明.【答案】(1)①見解析;②結論成立,見解析;(2),見解析【分析】(1)①證明是等邊三角形,得出E、D為中點,從而證明;②在上截取,根據角平分線的性質,證明,,從而得到答案;(2)作點B關于的對稱點E,證明,從而得到,再根據AE、DC分別是、
43中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析的角平分線,得到.【詳解】(1)①,,.又、分別是、的平分線.點D、E分別是、的中點.,..②結論成立,理由如下:設與交于點F,由條件,得,.又...∴.在上截?。伞連F=BF,
44中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴...又∵CF=CF,∴.∴.(2),理由如下:∵四邊形是圓內接四邊形,∴.∵,∴,,∴.∴.作點B關于的對稱點E,連結,,的延長線與的延長線交于點M,與交于點F,∴,.∴.∴∴∴∵AE、DC分別是、的角平分線由②得.
45中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析【點睛】本題考查三角形、等邊三角形、全等三角形、圓的內接四邊形的性質,解題的關鍵是熟練掌握三角形、等邊三角形、全等三角形、圓的內接四邊形的相關知識.43.(云南·中考真題)如圖,四邊形ABCD的外接圓是以BD為直徑的⊙O,P是⊙O的劣狐BC上的任意一點,連接PA、PC、PD,延長BC至E,使BD2=BC?BE.(1)請判斷直線DE與⊙O的位置關系,并證明你的結論;(2)若四邊形ABCD是正方形,連接AC,當P與C重合時,或當P與B重合時,把轉化為正方形ABCD的有關線段長的比,可得是否成立?請證明你的結論.【答案】(1)DE是⊙O的切線,證明見解析;(2)成立,證明見解析【分析】(1)證明△BDC∽△BED,推出∠BCD=∠BDE=90°,即可證明DE是⊙O的切線;(2)延長PA至Q,使AQ=CP,則PA+PC=PA+AQ=PQ,證明△QAD≌△PCD(SAS),再推出△PQD是等腰直角三角形,即可證明結論成立.(1)解:DE是⊙O的切線;理由如下:∵BD2=BC?BE,∴,∵∠CBD=∠DBE,∴△BDC∽△BED,∴∠BCD=∠BDE,∵BD為⊙O的直徑,∴∠BCD=90°,∴∠BDE=90°,
46中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴DE是⊙O的切線;(2)解:成立,理由如下:延長PA至Q,使AQ=CP,則PA+PC=PA+AQ=PQ,∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°,∵四邊形APCD是圓內接四邊形,∴∠PAD+∠PCD=180°,∵∠QAD+∠PAD=180°,∴∠QAD=∠PCD,∴△QAD≌△PCD(SAS),∴∠QDA=∠PDC,QD=PD,∴∠QDA+∠PDA=∠PDC+∠PDA=90°,∴△PQD是等腰直角三角形,∴PQ=PD,即PA+PC=PD,∴成立.【點睛】本題考查了切線的判定,相似三角形的判定和性質,圓內接四邊形的性質,等腰直角三角形的判定和性質,全等三角形的判定和性質,熟記各圖形的性質并準確識圖是解題的關鍵.44.(陜西·中考真題)如圖,是⊙的直徑,是⊙的切線,、是⊙的弦,且,垂足為E,連接并延長,交于點P.
47中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析(1)求證:;(2)若⊙的半徑,求線段的長.【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)根據是的切線,得出.根據,可證.得出.根據同弧所對圓周角性質得出即可;(2)連接.根據直徑所對圓周角性質得出,.可證.得出.根據勾股定理.再證.求出即可.(1)證明:∵是的切線,∴.∵∴,∴.∴.∵,∴.(2)解:如圖,連接.∵為直徑,
48中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴∠ADB=90°,∴.∵,∴.∴.∵,∴.∵∠BAP=∠BDA=90°,∠ABD=∠PBA,∴.∴.∴.∴.【點睛】本題考查圓的切線性質,直徑所對圓周角性質,同弧所對圓周角性質,勾股定理,三角形相似判定與性質,掌握圓的切線性質,直徑所對圓周角性質,同弧所對圓周角性質,勾股定理,三角形相似判定與性質是解題關鍵.45.(湖南衡陽·中考真題)如圖,為⊙的直徑,過圓上一點作⊙的切線交的延長線與點,過點作交于點,連接.(1)直線與⊙相切嗎?并說明理由;(2)若,,求的長.【答案】(1)相切,見解析(2)【分析】(1)先證得:,再證,得到,即可求出答案;(2)設半徑為;則:,即可求得半徑,再在直角三角形中,利用勾股定理,
49中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析求解即可.(1)(1)證明:連接.∵為切線,∴,又∵,∴,,且,∴,在與中;∵,∴,∴,∴直線與相切.(2)設半徑為;則:,得;在直角三角形中,,,解得【點睛】本題主要考查與圓相關的綜合題型,涉及全等三角形的判定和性質等知識,熟練掌握平行線性質、勾股定理及全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.46.(湖南株洲·中考真題)如圖所示,的頂點、在⊙上,頂點在⊙外,邊與⊙相交于點,,連接、,已知.
50中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析(1)求證:直線是⊙的切線;(2)若線段與線段相交于點,連接.①求證:;②若,求⊙的半徑的長度.【答案】(1)見解析(2)①見解析;②【分析】(1)根據圓周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°,再由OD∥BC,可得CB⊥OB,即可求證;(2)①根據∠BOD=2∠BAC=90°,OB=OD,可得∠BAC=∠ODB,即可求證;②根據,可得,即,再由勾股定理,即可求解.(1)證明∶∵∠BAC=45°,∴∠BOD=2∠BAC=90°,∴OD⊥OB,∵OD∥BC,∴CB⊥OB,∵OB為半徑,∴直線是⊙的切線;(2)解:①∵∠BAC=45°,∴∠BOD=2∠BAC=90°,OB=OD,∴∠ODB=45°,∴∠BAC=∠ODB,∵∠ABD=∠DBE,∴;②∵,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴或(舍去).即⊙的半徑的長為.【點睛】本題主要考查了切線的判定,圓周角定理,相似三角形的判定和性質,勾股定理等知識,熟練掌握切線的判定,圓周角定理,相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.47.(湖南懷化·中考真題)如圖,點A,B,C,D在⊙O上,=.求證:
51中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析(1)AC=BD;(2)△ABE∽△DCE.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)兩個等弧同時加上一段弧后兩弧仍然相等;再通過同弧所對的弦相等證明即可;(2)根據同弧所對的圓周角相等,對頂角相等即可證明相似.(1)∵=∴=∴∴BD=AC(2)∵∠B=∠C;∠AEB=∠DEC∴△ABE∽△DCE【點睛】本題考查等弧所對弦相等、所對圓周角相等,掌握這些是本題關鍵.48.(江西·中考真題)(1)課本再現:在中,是所對的圓心角,是所對的圓周角,我們在數學課上探索兩者之間的關系時,要根據圓心O與的位置關系進行分類.圖1是其中一種情況,請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形,并從三種位置關系中任選一種情況證明;(2)知識應用:如圖4,若的半徑為2,分別與相切于點A,B,,求的長.【答案】(1)見解析;(2)【分析】(1)①如圖2,當點O在∠ACB的內部,作直徑,根據三角形外角的性質和等腰三角形的性質可得結論;②如圖3,當O在∠ACB的外部時,作直徑CD,同理可理結論;(2)如圖4,先根據(1)中的結論可得∠AOB=120°,由切線的性質可得∠OAP=∠OBP=90°,可得∠OPA=30°,從而得PA
52中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析的長.【詳解】解:(1)①如圖2,連接CO,并延長CO交⊙O于點D,∵OA=OC=OB,∴∠A=∠ACO,∠B=∠BCO,∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO,∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB,∴∠ACB=∠AOB;如圖3,連接CO,并延長CO交⊙O于點D,∵OA=OC=OB,∴∠A=∠ACO,∠B=∠BCO,∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO,∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB,∴∠ACB=∠AOB;(2)如圖4,連接OA,OB,OP,
53中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∵∠C=60°,∴∠AOB=2∠C=120°,∵PA,PB分別與⊙O相切于點A,B,∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=∠APB=(180°-120°)=30°,∵OA=2,∴OP=2OA=4,∴PA=【點睛】本題考查了切線長定理,圓周角定理等知識,掌握證明圓周角定理的方法是解本題的關鍵.49.(甘肅武威·中考真題)如圖,內接于,,是的直徑,是延長線上一點,且.(1)求證:是的切線;(2)若,,求線段的長.【答案】(1)見解析(2)4【分析】(1)根據直徑所對的圓周角是90°,得出,根據圓周角定理得到,推出,即可得出結論;(2)根據得出,再根據勾股定理得出CE即可.(1)證明:∵是的直徑,∴,∴,
54中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∵,∴,又∵,∴,∴,∴,∵為的半徑,∴是的切線;(2)由(1)知,在和中,∵,,∴,即,∴,在中,,,∴,解得.【點睛】本題主要考查圓的綜合題,熟練掌握圓周角定理,切線的判定,勾股定理等知識是解題的關鍵.50.(浙江紹興·中考真題)如圖,半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點A,交邊BC于點C,D,∠B=90°,連接OD,AD.(1)若∠ACB=20°,求的長(結果保留).(2)求證:AD平分∠BDO.【答案】(1)(2)見解析【分析】(1)連接,由,得,由弧長公式即得的長為;(2)根據切于點,,可得,有,而,即可得,從而平分.
55中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析(1)解:連接OA,∵∠ACB=20°,∴∠AOD=40°,∴,.(2)證明:,,切于點,,,,,,平分.【點睛】本題考查與圓有關的計算及圓的性質,解題的關鍵是掌握弧長公式及圓的切線的性質.51.(浙江金華·中考真題)如圖1,正五邊形內接于⊙,閱讀以下作圖過程,并回答下列問題,作法:如圖2,①作直徑;②以F為圓心,為半徑作圓弧,與⊙交于點M,N;③連接.(1)求的度數.(2)是正三角形嗎?請說明理由.(3)從點A開始,以長為半徑,在⊙上依次截取點,再依次連接這些分點,得到正n邊形,求n的值.【答案】(1)(2)是正三角形,理由見解析(3)【分析】(1)根據正五邊形的性質以及圓的性質可得,則(優(yōu)弧所對圓心角),然后根據圓周角定理即可得出結論;(2)根據所作圖形以及圓周角定理即可得出結論;(3)運用圓周角定理并結合(1)(2)中結論得出,即可得出結論.(1)解:∵正五邊形.∴,
56中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析∴,∵,∴(優(yōu)弧所對圓心角),∴;(2)解:是正三角形,理由如下:連接,由作圖知:,∵,∴,∴是正三角形,∴,∴,同理,∴,即,∴是正三角形;(3)∵是正三角形,∴.∵,∴,∵,∴,∴.【點睛】本題考查了圓周角定理,正多邊形的性質,讀懂題意,明確題目中的作圖方式,
57中考數學真題專練《圓與正多邊形(一)》全國通用分項沖刺題-附解析熟練運用圓周角定理是解本題的關鍵.