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1、§7 向量應用舉例7．1 點到直線的距離公式7．2 向量的應用舉例[學習目標] 1.了解直線法向量的概念.2.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題及一些實際問題.3.進一步體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具．[知識鏈接]1．向量可以解決哪些常見的幾何問題？答 (1)解決直線平行、垂直、線段相等、三點共線、三線共點等位置關系．(2)解決有關夾角、長度及參數的值等的計算或度量問題．2．用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是怎樣的？答 (1)建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問
2、題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，距離，夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系．[預習導引]1．直線的法向量(1)直線y＝kx＋b的方向向量為(1，k)，法向量為(k，－1)．(2)直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量為(B，－A)，法向量為(A，B)．2．點到直線的距離公式設點M(x0，y0)為平面上任一定點，則點M到直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距離d＝.3．向量方法在幾何中的應用(1)證明線段平行問
3、題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價條件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價條件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cosθ＝＝.(4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：
4、a
5、＝.4．向量方法在物理中的應用(1)力、速度、加速度、位移都是向量．(2)力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加、減運算，運動
6、的疊加亦用到向量的合成．(3)動量mv是數乘向量．(4)功即是力F與所產生位移s的數量積．要點一 直線法向量(或方向向量)的應用例1 已知△ABC的三頂點A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，點D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點．(1)求直線DE、EF、FD的方程；(2)求AB邊上的高線CH所在的直線方程．解 (1)由已知得點D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．設點M(x，y)是直線DE上任一點，則∥，＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－
7、2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0為直線DE的方程．同理可求，直線EF、FD的方程分別為x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)設點N(x，y)是CH所在的直線上任一點，則⊥，·＝0，＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0為所求直線CH所在的直線方程．規(guī)律方法 對于解析幾何中的有關直線平行與垂直問題，常常可以轉而考慮與直線相關的向量的共線與垂直，這樣一來將形的問題轉化為相關數的問題，從而容易將問題解決．跟蹤演練1 求點P0(－1,2)到直線l：2x＋y
8、－10＝0的距離．解 方法一 取直線l的一個法向量為n＝(2,1)，在直線l上任取一點P(5,0)，∴0＝(－6,2)，∴點到直線l的距離d就是0在法向量n上的射影．設0與n的夾角為θ.∴d＝
9、0
10、
11、cosθ
12、＝
13、0
14、·＝＝＝2.故點P0到直線l的距離為2.方法二 由點到直線的距離公式得d＝＝＝2.要點二 向量在平面幾何中的應用例2 如圖，已知Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM＝1，N在OA上，且ON＝1，P為AM與BN的交點，求∠MPN.解 設＝a，＝b，且
15、，的夾角為θ，則＝b，＝a，又∵＝－＝b－a，＝－＝a－b，∴·＝·＝－5，
16、
17、＝，
18、
19、＝，∴cosθ＝＝－，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，又∵∠MPN即為向量，的夾角，∴∠MPN＝.規(guī)律方法 (1)本題可以選擇，作為基向量，這是兩個互相垂直的向量，選用這組特殊的基向量可以簡化運算．(2)本題也可以建立平面直角坐標系進行求解．把平面幾何中求角的問題轉化為向量的夾角問題是平面向量的工具性體現之一，轉化時一定要注意向量的方向．跟蹤演練2 已知△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝3，求BC的長．
20、解 以A為原點建立如圖所示平面直角坐標系，則A(0,0)，B(4cos60°，4sin60°)，C(3,0)，∴＝(3,0)，＝(2，2)，∵＝－＝(1，－2)，∴
21、
22、＝＝.要點三 利用向量解決物理中的問題例3 在風速為75(－)km/h的西風中，飛機以150km/h的航速向西北方向飛行，求沒有風時飛機的航速和航向．解 設向量a表示風速，b表示無風時飛機的航行速度，c表示有風時飛機的航行速度，則c＝a＋b.如圖，作向量＝a，＝b，＝c，則四邊形OACB為平行四邊形．過C、B分別作O
