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1、http://www.paper.edu.cn影院座位的安排劉學(xué)智武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院武漢430072Email:newyouthliu@163.com摘要:本文用直線夾角公式導(dǎo)出了最大視角公式，從離散化的思想出發(fā)，經(jīng)過一系列的條件簡化，在主要考慮影響滿意度的視角因素的基礎(chǔ)上，用數(shù)列求和定義了平均視角函數(shù)，對地板線傾角以步長0.1度搜索最優(yōu)解，求得傾角為17.4度時平均視角最大為5.75度，其中第1排視角最大（8.8度），最佳位置需根據(jù)給出影響滿意度因素的權(quán)值具體來定，一般是前1、2排居中位置。關(guān)于如何進(jìn)一步提高觀眾滿意度，本文搜索了包絡(luò)線是直線時的情況
2、，當(dāng)傾角為7.1度，第1排、最后一排的地板線高度分別為1.8m、3.4m時，平均視角最大為5.92度，其中第1排視角最大（10度）。模型推廣中，本文考慮了觀眾座高不等這一隨機(jī)因素給理想模型帶來的影響，并考慮了空間設(shè)計的問題。關(guān)鍵詞:視角平均滿意度數(shù)列求和包絡(luò)線1.問題重述下圖1為電影院的剖面圖，座位的滿意程度主要取決于兩個因素：（1）視角θ，即觀眾眼睛到屏幕上、下邊的視線的夾角，θ越大越好。（2）仰角ω，即觀眾為看見屏幕上邊需上仰頭部的角度，ω太大，觀眾有不舒適感，一般要求0°≤ω≤30°。記地板線傾角為α，第一排座位在離屏幕d處。最后一排在離屏幕D處，
3、C為觀眾坐高。1、已知參數(shù)C,d,D,H,h和α，問最佳座位在何處（用上述參數(shù)表示）？并討論這些參數(shù)應(yīng)滿足什么條件你的結(jié)果才合理？2．已知下表1數(shù)據(jù)：試求出地板線傾角α，使所有觀眾的平均滿意度最圖1電影院的剖面圖大，并給出相應(yīng)的最佳座位的位置。3．問地板線設(shè)計成什么形狀，可以進(jìn)一步提高觀眾的滿意度？表1參數(shù)數(shù)據(jù)（單位：m）HhdDc4.501.205.9118.811.102.基本假設(shè)1．所有觀眾的座高相等。2．各排的排距相等。1http://www.paper.edu.cn3．所有觀眾的視力相差不大。4．考慮到實際影院的地板是呈階梯狀的，圖3中的地板線
4、可看作這些階梯的包絡(luò)線。5．觀眾可以俯視，但不能達(dá)到俯視屏幕的上邊緣的程度。用到的幾個數(shù)據(jù)[1]①臀部—膝蓋長度是從臀部最后面到膝蓋骨前面的水平距離，影響到排距的取值，本文排[2]距取0.8m。②眼睛—頭頂長度是從眼睛到頭頂?shù)呢Q直距離。本文取0.1m。3.符號說明n影院座位的排數(shù)l兩排座位之間的距離，簡稱排距x觀眾到屏幕的水平距離θ視角α地板線的傾角ω仰角c觀眾座高θ所有觀眾的平均視角其它相關(guān)符號用到時文中會說明，其中H、h、d、D在圖1中已標(biāo)出。4.問題分析圖2階梯式影院剖面圖每一個到影院的觀眾都想坐在最佳位置，而座位的滿意程度主要取決于下面幾個因素：
5、①視角θ，即觀眾眼睛到屏幕上、下邊的視角的夾角θ越大越好。②仰角ω，即觀眾為看見屏幕上邊需上仰頭部的角度，ω太大，觀眾有不舒適感，一般要oo求03≤≤ω0。③觀眾距屏幕的水平距離不能太遠(yuǎn)，會看不清。我們知道視角要越大越好,仰角而越小越好，最佳位置就是要在這兩者之間找到一個契合點，使觀眾對兩者的綜合滿意程度達(dá)到最大。針對這個問題，我們通過主觀的判斷分別對水平視角和仰角取權(quán)重。如果仰角在滿足條件的范圍內(nèi)，我們假定觀眾滿意度只取決于視角。其中③對所有觀眾的平均滿意度基本不造成影響，本文將忽略此因素的影響。另外少數(shù)身高很高的人會擋住別人的視線，本文也將忽略此因素
6、的影響。2http://www.paper.edu.cn5.模型建立問題1如圖3以地面水平方向為x軸，屏幕處豎直方向為y軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)屏幕最上點為A，最下點為B，觀眾眼睛所在點為E。yAhBHωcθEαOdxD圖3影院剖面的坐標(biāo)系圖則A(0,H)，B(0,H?h)，E(,xx(?d)tgα+c)([x∈dD,])。設(shè)AE的斜率為k，BE的1kk?21斜率為k，則它們的夾角θ滿足公式：tgθ=，此處，21+kk21()x?+dtgαc?H()x?dtgα+?cH+hk=，k=，其中?kt=gω（ω為仰角）。121xxkk?h/x21∴tgθ==211
7、++kk(xtgdαα?tg+c?H)(xtgdαα?tg+c?H+h)/x21令Hd+?tgαc=M，則htgθ=22(1tgα++)x(M?hM)/x+htgαα?2Mtgoo∵傾角ω∈[0,30]，()xd?tgα+?cH∴0≤≤tgω3/3?0≤?k=?≤3/31x3http://www.paper.edu.cnMM∴≤≤x3/3+tgαtgα于是關(guān)于視角的目標(biāo)函數(shù)及約束條件可表示為：hMAXθ=arctg22(1tgα++)x(M?hM)/x+htgαα?2Mtg?dx≤≤D（1）?st..?MM≤≤x??3/3+tgαtgα2由于一般情況下，
8、Mh?M>0，2Mh?M2所以若θ的極值點x==Mh?Mcosα>d，則函數(shù)在該
