河海大學, 概率統(tǒng)計, 課件, 隨機變量的數(shù)字特征,(上課用)

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1、Ch4隨機變量的數(shù)字特征?數(shù)學期望(Expectation)一?加權平均數(shù)例設某班40名學生的概率統(tǒng)計成績及得分人數(shù)如下表所示：分數(shù)4060708090100人數(shù)1691572則學生的平均成績是總分÷總人數(shù)(分)。即上式也可以寫成：這種計算方法即為40,60,70,80,90和100這六個數(shù)的加權平均數(shù)。其中稱為數(shù)的權重。的加權算術平均數(shù)為：一般地有X4060708090100P1/406/409/4015/407/402/40現(xiàn)引進r.v.X表示學生得分，則X有分布律于是上述平均數(shù)可以寫成即取值乘取值的概率相加即得平均值。這就是r

2、.v.的數(shù)學期望的概念二.離散型隨機變量的數(shù)學期望定義：離散型隨機變量X，其分布律為：若級數(shù)絕對收斂，即若級數(shù)發(fā)散，則說X的數(shù)學期望不存在。的和為隨機變量X的數(shù)學期望，記為則稱級數(shù)例r.v.X的分布律為：X1030507090p3/62/61/363/362/36求解例某省發(fā)行的體育彩票中，有順序的7個數(shù)字組成一個號碼，稱為一注，7個數(shù)字都是選自0，1，…,9，可以重復，如果彩票一元一張，且全體不同的號碼中只有一個大獎，大獎可得獎金300萬元，扣除20％的所得稅，問購買一注時期望盈利是多少？例在澳門，有很多人在賭21點時順便押對子，

3、其規(guī)則如下：莊家從6副牌（52張)撲克中隨機抽取兩張，如果你下注a元，當?shù)玫降呐茷橐粚r，莊家賠給你10倍，否則輸?shù)裟愕馁€注，如果你下注100元，你和莊家在每局中各期望贏多少元？例單點分布（退化分布）即常數(shù)的數(shù)學期望為常數(shù)。例X~（0—1）分布X01p1-pp即r.v.X的分布律為：P{X=c}=1即r.v.X的分布律為：例X~B（n，p）二項分布即r.v.X的分布律為：例X~????（或????）Poisson分布即r.v.X的分布律為：例r.v.X的取值為：對應的概率為：但所以E(X)不存在！例求超幾何分布P{X=k}=p(1-

4、p)k-1,k=1,2,.的數(shù)學期望。定義設連續(xù)型r.v.X的概率密度函數(shù)為f(x)若積分絕對收斂，則稱積分的值為連續(xù)型r.v.X的數(shù)學期望，記為E(X)。即若積分發(fā)散時，則稱X的數(shù)學期望不存在。三.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望例r.v.X的概率密度函數(shù)為：求E(X).解例X~U(a，b)均勻分布求E(X).解其概率密度函數(shù)為：例指數(shù)分布求E(X).解X服從參數(shù)為?的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為：求E(X).解其概率密度函數(shù)為：例正態(tài)分布X~N()例r.v.X的概率密度函數(shù)為：(Cauthy分布)由于所以E(X)不存在！四.對于r.v.X

5、的函數(shù)的數(shù)學期望?Y為r.v.X的函數(shù)，Y=g(X)，g為連續(xù)函數(shù)（i）X是離散型隨機變量，其分布律為若絕對收斂，則有事實上（ii）X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為f(x)若絕對收斂，則有綜上有：若已知X的分布以及函數(shù)g(x),可以不必求出Y=g(x)的分布,直接利用上面的公式求出Y的數(shù)學期望.解例r.v.X的分布律為：X?205p0.40.10.5求E(2X2+X?2)和E[X?E(X)]2.例r.v.X的概率密度函數(shù)為：求E(3X2?7X+8).解?二維r.v.(X，Y)，Z=g(X，Y)，g為連續(xù)函數(shù)（i）(X，Y)是離散

6、型隨機變量，其分布律為若絕對收斂，則有（ii）(X，Y)是連續(xù)型隨機變量，其概密為若絕對收斂，則有例r.v.(X，Y)的概率密度函數(shù)為：求E(XY)，E(X2+Y2)。解xy0五?數(shù)學期望的性質1.E(aX+b)=aE(X)+b,a,b為常數(shù);2.E(X+Y)=3.若X與Y獨立，則E(XY)=E(X)+E(Y);E(X)E(Y).E(X1+X2+?+Xn)=E(X1)+E(X1)+?+E(Xn);E(X1X2?Xn)=E(X1)E(X1)?E(Xn);若X1,X2,?,Xn相互獨立，則?方差(VarianceorDispersion

7、)方差是衡量隨機變量取值與其均值的偏離程度的一個數(shù)字特征。1.定義若E(X)存在，則稱E[X?E(X)]2為r.v.X的方差，記為D(X),或Var(X).離散型情況連續(xù)型情況2.推論D(X)=E(X2)?[E(X)]2.例單點分布（退化分布）即常數(shù)的方差為零。例X~（0—1）分布X01p1-pp即r.v.X的分布律為：P{X=c}=1即r.v.X的分布律為：例X~B（n，p）二項分布即r.v.X的分布律為：例X~????（或????）Poisson分布即r.v.X的分布律為：例X~U(a，b)均勻分布其概率密度函數(shù)為：例指數(shù)分布X

8、服從參數(shù)為?的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為：其概率密度函數(shù)為：例正態(tài)分布X~N()3.方差的性質(1)D(aX+b)=a2D(X),a,b為常數(shù)；(2)若X，Y獨立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y);(3)D(X)=0?存在常數(shù)C，使