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《概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量的數(shù)字特征.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、1§1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望與方差二、協(xié)方差與協(xié)方差2若當(dāng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂時(shí)，稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E（X），即Xx1x2x3………xn…Pkp1p2p3………pn…1、數(shù)學(xué)期望的定義定義2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),則當(dāng)廣義積分絕對(duì)收斂時(shí)，稱此積分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E（X），即E（X）=E(X)=一、數(shù)學(xué)期望與方差1、定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：32、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：（4）若X，Y為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E（XY）=E（X）E（Y）（1）設(shè)C是常數(shù)，則E（C）=C這里C視
2、為退化的隨機(jī)變量（2）設(shè)X為一隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則有E（CX）=CE（X）（3）設(shè)X，Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E（X+Y）=E（X）+E（Y）注：(1)相互獨(dú)立時(shí)(2)4例2、已知X～E(X)，求Y=2X-1的數(shù)學(xué)期望解依題意知，X的概率密度為于是進(jìn)而3、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望⑴離散型:X的分布率為:P{X=xk}=Pk,k=1,2…且級(jí)數(shù)5⑵連續(xù)型:X的概率密度為f(x)，若積分(1)已知隨機(jī)變量X的分布,求其函數(shù)Y=g(X)的期望:絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂6（2）連續(xù)型R.V(X，Y)的概率密度為:f(x,y)則有（1）離散型(X，
3、Y)的分布律為：(2)、已知隨機(jī)變量（X,Y）的分布，求函數(shù)Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望求的期望例3：已知隨機(jī)變量X的概率密度為7例1.26設(shè)隨機(jī)變量解依題知，X的概率密度為故4、方差的概念8另外，記，稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差D（x）=Var（X）=存在,則稱之為X的方差.記為D（X）或Var(X)定義若X是一隨機(jī)變量，若5、方差的計(jì)算方法：當(dāng)X為離散型隨機(jī)變當(dāng)X是連續(xù)型隨機(jī)變量常用公式:9例5：已知X~U(a,b)，求E(X)和D(X).解由題知，X的概率密度為于是有而6、方差的性質(zhì):10(1)D(C)＝0;(2)D(CX)=C2D(
4、X);(3)當(dāng)X、Y獨(dú)立,D(X+Y)=D(X)+D(Y);(4)D(X)=0等價(jià)于P﹛X=C﹜=1.(C為常數(shù))7、常見分布的期望方差:11(5)均勻分布:(1)二點(diǎn)分布:(2)二項(xiàng)分布:(3)泊松分布:(4)正態(tài)分布:E(X)=npD(X)=np(1-p)(6)指數(shù)分布E(X)=pD(X)=pq12例1.29設(shè)X～E(t)，Y～N(0,t2)，(t>0)且X與Y相互獨(dú)立，而Z=2X-3Y+1，試求E(Z)和E(Z2).解因X～E(t)，Y～N(0,t2)故所以131、協(xié)方差:設(shè)隨機(jī)變量X與YCov(X,Y)=E{[X-E（X
5、）][Y-E（Y）]}稱其為X與Y的協(xié)方差,也記為?XY注：Cov(X,X)=E{[X-E（X）][X-E（X）]}=D(X)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).為X,Y的相關(guān)系數(shù).2、相關(guān)系數(shù):稱數(shù)值二、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)14例1.30設(shè)(X,Y)的概率密度為解因定理1.2提供的公式，直接有于是有153、性質(zhì)：注:(1)當(dāng)較大時(shí),我們通常說X與Y的線性相關(guān)程度較好;當(dāng)較小時(shí)，我們說X與Y的線性相關(guān)程度較差.(2)?XY=0我們也稱X與Y不相關(guān).注：設(shè)二維隨機(jī)變量則X與Y的相關(guān)系數(shù)為16(4)X與Y的k+l階混合中心矩
6、設(shè)(X,Y)是隨機(jī)變量，k,l是整數(shù)注：數(shù)學(xué)期望是的一階原點(diǎn)矩，方差是二階中心矩，協(xié)方差是二階混合中心矩。4、隨機(jī)變量的矩
