姜啟源數(shù)學(xué)模型課后答案解析(3版).doc

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1、《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答第二章(1)（2008年9月16日）1．學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.學(xué)生們要組織一個(gè)10人的委員會(huì)，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）.按比例分配取整數(shù)的名額后,剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者;（2）.§1中的Q值方法；（3）.d’Hondt方法：將A、B、C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3,……相除，其商數(shù)如下表：12345ABC235117.578.358.75…333166.511183.25…43221614410886.4將所得商數(shù)從大到小取前10個(gè)（10為席位數(shù)），在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A、B、

2、C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，這就是3個(gè)宿舍分配的席位.你能解釋這種方法的道理嗎？如果委員會(huì)從10個(gè)人增至15人，用以上3種方法再分配名額，將3種方法兩次分配的結(jié)果列表比較.解：先考慮N=10的分配方案，方法一（按比例分配）分配結(jié)果為：方法二（Q值方法）9個(gè)席位的分配結(jié)果（可用按比例分配）為：第一章作業(yè)解答第58頁(yè)共58頁(yè)第10個(gè)席位：計(jì)算Q值為最大，第10個(gè)席位應(yīng)給C.分配結(jié)果為方法三（d’Hondt方法）此方法的分配結(jié)果為：此方法的道理是：記和為各宿舍的人數(shù)和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人數(shù)，取從而得到的中選較大者，可使對(duì)所有的盡量接近.再考慮的分配方案，

3、類似地可得名額分配結(jié)果.現(xiàn)將3種方法兩次分配的結(jié)果列表如下：宿舍（1）（2）（3）（1）（2）（3）ABC322333455443555667總計(jì)1010101515151．試用微積分方法，建立錄像帶記數(shù)器讀數(shù)n與轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的數(shù)學(xué)模型.解：設(shè)錄像帶記數(shù)器讀數(shù)為n時(shí)，錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間為t.其模型的假設(shè)見(jiàn)課本.考慮到時(shí)間內(nèi)錄像帶纏繞在右輪盤(pán)上的長(zhǎng)度，可得兩邊積分，得第二章(2)（2008年10月9日）15．速度為的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為的風(fēng)車上，空氣密度是第一章作業(yè)解答第58頁(yè)共58頁(yè)，用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率與、S、的關(guān)系.解:設(shè)、、S、的關(guān)系為，其量綱表達(dá)式為:[P]=,[]=,[]=,[]

4、=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得　，，其中是無(wú)量綱常數(shù).16．雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè),,,的關(guān)系為,,,=0.其量綱表達(dá)式為[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0，即的基本解為y=(-3,-1,1,1)第一章作業(yè)解答第

5、58頁(yè)共58頁(yè)由量綱定理得.，其中是無(wú)量綱常數(shù).16．雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè),,,，的關(guān)系為.其量綱表達(dá)式為[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T0，[]=LM0T-2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0即的基本解為得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量即.由,得,其中是未定函數(shù).20.考察阻尼擺的周期，即

6、在單擺運(yùn)動(dòng)中考慮阻力，并設(shè)阻力與擺的速度成正比.給出周期的表達(dá)式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計(jì)算原型擺的周期.解：設(shè)阻尼擺周期,擺長(zhǎng),質(zhì)量,重力加速度，阻力系數(shù)的關(guān)系為第一章作業(yè)解答第58頁(yè)共58頁(yè)其量綱表達(dá)式為：，其中，，是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組的基本解為得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量∴,,∴，其中是未定函數(shù).考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和不變，記模型和原型擺的周期、擺長(zhǎng)、質(zhì)量分別為,；,;,.又當(dāng)無(wú)量綱量時(shí)，就有.《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答第一章作業(yè)解答第58頁(yè)共58頁(yè)第三章1（2008年10月14日）1.在3.1節(jié)存貯模型的總費(fèi)用中增加購(gòu)買(mǎi)貨物本身的費(fèi)用,重

7、新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量．證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來(lái)的一樣，而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來(lái)結(jié)果減少．解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)單位重量貨物的費(fèi)用為,其它假設(shè)及符號(hào)約定同課本．對(duì)于不允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為：　　　　　　　　　　　　令，　解得　　　　　　　由，　得與不考慮購(gòu)貨費(fèi)的結(jié)果比較，Ｔ、Ｑ的最優(yōu)結(jié)果沒(méi)有變．對(duì)于允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為：　　　　　　　　　　　　令　，　得到駐點(diǎn)：第一章作業(yè)解答第58