空間解析幾何ppt課件.ppt

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1、4.2空間解析幾何4.2.2空間曲線及其方程4.2.1空間曲面及其方程4.2.3二次曲面14.2.1向量及其線性運算2、平面及其方程1、曲面方程的概念21.曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設軌跡上的動點為軌跡方程.(1)曲面與方程3定義如果曲面S與方程F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面S上的任意點的坐標都滿足此方程;則F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個

2、基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).4M0MR根據(jù)題意有所求方程為特殊地:球心在原點時方程為以下給出幾例常見的曲面.表示上(下)球面.解例5例研究方程解:配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個球面,或點,或虛軌跡.6定義一條平面曲線(2)旋轉(zhuǎn)曲面繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:7建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲

3、面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當繞z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz面上曲線C:則有則有該點轉(zhuǎn)到8思考:當曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時,方程如何?9例求yOz坐標面上的拋物線成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解:繞z軸旋轉(zhuǎn)時,將y改換成,即得,繞z軸旋轉(zhuǎn)所xyzo--旋轉(zhuǎn)拋物面.10例試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方11例求坐標面xoz上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為12(3)柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足

4、方程解:在xoy面上,表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意z,平行z軸的直線l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,13定義平行定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.?表示拋物柱面,母線平行于z軸;準線為xoy面上的拋物線.z軸的橢圓柱面.?z軸的平面.?表示母線平行于(且z軸在平面上)表示母線平行于C叫做準線,l叫做母線.14一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x軸;平行于y軸;平行于z軸;準線xoz面上的曲線l3.母線柱面,準線xoy面上的曲線l1.母線準線yoz面上的曲線l2.母線15從柱面

5、方程看柱面的特征:(其他類推)實例橢圓柱面//軸雙曲柱面//軸拋物柱面//軸16①(1)平面的點法式方程設一平面通過已知點且垂直于非零向稱①式為平面?的點法式方程,求該平面?的方程.法向量.量則有故2.平面及其方程17例求過點即解:利用點法式得平面方程的平面方程.且垂直于向量18例求過三點即解:取該平面?的法向量為的平面?的方程.利用點法式得平面?的方程19此平面的三點式方程也可寫成一般情況:過三點的平面方程為說明:20取法向量化簡得所求平面方程為解21(2)平面的一般方程設有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②

6、與此點法式方程等價,②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.22特殊情形?當D=0時,Ax+By+Cz=0表示通過原點的平面;?當A=0時,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?Ax+Cz+D=0表示?Ax+By+D=0表示?Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?By+D=0表示平行于y軸的平面;平行于z軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面;平行于zox面的平面.23設平面為由平面過原點知所求平面方程為解24例求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通過x軸,設所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程25當平面與三坐標軸的交點分別為此

7、式稱為平面的截距式方程.時,平面方程為分析:利用三點式按第一行展開得即(3)平面的截距式方程26設平面為將三點坐標代入得解代入所設方程得平面的截距式方程27外一點,求例設解:設平面法向量為在平面上取一點是平面到平面的距離d.,則P0到平面的距離為(點到平面的距離公式)28(5)兩平面的夾角設平面∏1的法向量為平面∏2的法向量為則兩平面夾角?的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.29特別有下列結(jié)論:30例研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:解兩平面相交,夾角31兩平面相交,夾角例研究以下各

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