資源描述:
《2012全國高中數(shù)學聯(lián)賽廣東預賽試題(詳細解析)》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、2012年全國高中數(shù)學聯(lián)賽廣東省預賽試題(考試時間:2012年9月8日上午10∶00—11∶20)一、填空題:本大題共8小題,每小題8分,共64分.把答案填在橫線上1.已知,則.答案:(或)解:2.函數(shù)的最小值等于.答案:1解:因為所以的最小值為1.3.已知,其中為常數(shù),且.若為常數(shù),則的值為.答案:解:由于是常數(shù),故,且.將代入整理得,分解因式得.若,則,因此,與條件相矛盾.故,即.64.已知方程有兩個相異的正實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是.答案:解法一:令,則原方程化為.根據(jù)題意,方程有兩個大于1的相異實根.令,則解法二:令,則原方程化為.
2、注意到這個關于的方程最多有兩個解,而由嚴格單調(diào)遞增知每個最多對應一個,因此所求的應當使有兩個相異的實數(shù)解,且滿足的兩個實數(shù)都是正的.由于都是正的,故都應大于1.由于,故,因此必須滿足,及.因此的取值范圍為.因此的取值范圍為.5.將25個數(shù)排成五行五列:已知第一行,,,,成等差數(shù)列,而每一列,,,,()都成等比數(shù)列,且五個公比全相等.若,,,則的值為______.答案:解:可知每一行上的數(shù)都成等差數(shù)列,但這五個等差數(shù)列的公差不一定相等.6由,知且公差為6,故,.由,知公比.若,則,,故;若,則,,故.6.設點在曲線上,點在曲線上,則的最小值為
3、______.解:.函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),圖象關于對稱.函數(shù)上的點到直線的距離為.設函數(shù).由圖象關于對稱得:最小值為.7.將2個和2個共4個字母填在4×4方格表的16個小方格內(nèi),每個小方格內(nèi)至多填一個字母,若使相同字母既不同行也不同列,則不同的填法種數(shù)共有.答案:3960解:使得2個既不同行也不同列的填法有種,使得2個既不同行也不同列的填法有種,故由乘法原理,這樣的填法共有種.其中不合要求的有兩種情況:2個所在的方格內(nèi)都填有的情況有72種;2個所在的方格內(nèi)恰有1個方格填有的情況有種.所以,符合條件的填法共有種.8.一個直角梯形的上底比下底短
4、,該梯形6繞它的上底旋轉一周所得旋轉體的體積為,該梯形繞它的下底旋轉一周所得旋轉體的體積為,該梯形繞它的直角腰旋轉一周所得旋轉體的體積為,則該梯形的周長為.答案:.解:設梯形的上底長為,下底長為,高為,則梯形繞上底旋轉所得旋轉體的體積為,因此,即.同理有,兩式相除得,去分母化簡得,代入得.注意到直角腰長等于高,梯形繞它的直角腰旋轉一周所得旋轉體為圓臺,其體積為.將代入化簡得.結合可解得,因此,由勾股定理知另一條腰的長度為,因此梯形的周長為.二、解答題:本大題共3小題,共56分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1.(本小題滿分16分)
5、設橢圓的左、右頂點分別為,點在橢圓上且異于兩點,為坐標原點.若,證明:直線的斜率滿足.解法一:設.由,有,即.……4分從而所以,,且.所以,……16分6解法二:設.則線段的中點...……8分.……16分2.(本小題滿分20分)設非負實數(shù),,滿足.求的最大值.解:不妨設.顯然有,.……………5分根據(jù)AM-GM不等式可得……………15分所以S的最大值為12,這時.……………20分3.(本小題滿分20分)求出所有的函數(shù)使得對于所有,,都能被整除.解:根據(jù)題目的條件,令,則能被整除.因此能被整除,也就是能被整除.因為與互素,所以能被整除,且,所以,
6、.……………10分令,則能被整除,因此.從而,6對所有x.令,則能被整除.從而,對所有y.綜上所述,,對所有x.……………20分6