《和中心勢場》ppt課件

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1、第七章ChragedparticlesinMagneticFields和中心勢場7.1CouplingtotheElectromagneticField7.2TheHydrogenAtom7.3TheSpectrumofHydrogenAtoms7.4CurrentintheHydrogenAtoms7.5TheMagneticMoment7.1CouplingtotheElectromagneticField電量為e的帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng),在經(jīng)典力學(xué)中，H為電場力和磁場強(qiáng)度可以用相應(yīng)的勢能來表示式中，在經(jīng)典力學(xué)中，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)由哈密頓函數(shù)描述為（1）（2）（3

2、）所受的洛倫茲力為由此看出，在哈密頓量中，正則動(dòng)量p由p-(e/c)A代替，規(guī)范gauge不變性，我們將它稱為minimalcoupling。哈密頓量的正則動(dòng)量P（canonicalmomentum）是動(dòng)量mv和(e/c)A之和。.將正則動(dòng)量p用-i??代替，根據(jù)坐標(biāo)表象的量子化規(guī)則，得到哈密頓量（4）（5）計(jì)算平方，注意梯度和矢量勢能不對易，得到（6）A和ф不是唯一的，而是規(guī)范相關(guān)的,特別是在庫侖規(guī)范中.利用電磁場的橫波條件,成立.應(yīng)用動(dòng)量算符的等式-i??（7）H0表示粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)的哈密頓量。粒子與電場的耦合由A·P來表示。當(dāng)場強(qiáng)較小時(shí)，第三項(xiàng)可略去。如果

3、A描述的是一個(gè)平面電磁波，上式中的耦合項(xiàng)將發(fā)生輻射躍遷（發(fā)射和吸收）。那么，粒子在電磁場中的態(tài)由薛定諤方程的解給出。（8）Ehrenfest’sTheorem對薛定諤方程也具有規(guī)范不變性.下面我們將予以證明.規(guī)范不變性意味著:如果我們進(jìn)行下面的勢和變換.薛定諤方程的解描述的是同一個(gè)物理態(tài)f(r,t)是任意函數(shù).通過引入矢量及其四分量之間的關(guān)聯(lián)式（9）（10）x1=x,x2=y,x3=z,x4=ict如果我們用H’表示最初的哈密頓勢，即（11）Ψ和ψ’只是相因子不同。如果規(guī)范變換并不改變物理量，在Ψ＊Ψ乘積中，只是相因子消失了。（12）代入到（11）式中，（13）（1

4、4）（15）再應(yīng)用一次算符，我們得到這說明了通過規(guī)范變換，薛定諤方程（10）式的解仍然描述了同一個(gè)物理量。態(tài)ψn和ψ’n只是相因子exp[(ie/?c)f(r,t)]不同。由于物理觀測量不受相因子的影響。顯然，不是正則動(dòng)量?－i??（其表觀值不是規(guī)范不變的）,而是真正的動(dòng)力學(xué)動(dòng)量mv?-i??-(e/c)A（規(guī)范不變性）代表了觀測量。這樣，在物理問題中，如果存在電磁場，出現(xiàn)動(dòng)量算符算符總是由－(e/c)A來代替。這是量子力學(xué)保持規(guī)范不變性的唯一的途徑。然而，將勢A和?由量子力學(xué)來確定的話是不可能的。下面我們對量子力學(xué)中的規(guī)范不變性基本思想進(jìn)行總結(jié)。電磁場Aμ(xμ)

5、的規(guī)范變換為在這已經(jīng)脫離了電磁觀測量，即電場和磁場不發(fā)生變化。四動(dòng)量算符為（16）（17）最小耦合通過下列替換實(shí)現(xiàn)（18）在量子力學(xué)中，規(guī)范變換（16）必須由波函數(shù)的相變換來補(bǔ)充（19）（20）那么成立。我們可以確定，通過規(guī)范變換，上述觀測量是不變的。對μ＝4，可取1，2，3（20）式的右邊正好等于（13）的右邊。（22）（21）TheHydrogenatom中心勢場在氫原子中，電子和質(zhì)子相互吸引，吸引力為e2/r2,相應(yīng)的勢為e2/r，r為相對運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)。我們選擇質(zhì)子為坐標(biāo)系統(tǒng)的中心，質(zhì)量m為電子的折合質(zhì)量（reducedmass）（23）由于為中心勢，我們采用球

6、對稱坐標(biāo)，則定態(tài)薛定諤方程為（24）動(dòng)量算符的平方為根據(jù)P77頁角動(dòng)量算符在球坐標(biāo)系中的表示（24a）（24b）分成了徑向部分和與角動(dòng)量部分相關(guān)的轉(zhuǎn)動(dòng)部分，從而可以分離變量代入(24b)等式兩邊同乘以如r3／R(r)兩邊同乘以R(r)/r2,得由于能量E值出現(xiàn)在徑向部分，找到能譜，只需求解徑向部分。對于球諧函數(shù)，能量只依賴于波函數(shù)的徑向部分。由歸一化由球諧函數(shù)的分離性和正交性，我們只需確定束縛態(tài)（bound)，它的能量本征值取負(fù)值。(1)當(dāng)r?0，角動(dòng)量項(xiàng)取決定作用設(shè)R(r)可由冪級數(shù)展開，并略去高次項(xiàng)，代入上式得該方程的解為α＝l+1,α＝-l,當(dāng)α＝-l，為三維

7、諧振子（oscillator）,α＝l+1,其解也一樣。(2)當(dāng)r??，角動(dòng)量項(xiàng)取決定作用為了方便，做替換由于束縛態(tài)能量必須去負(fù)值，上式的解設(shè)為由于當(dāng)r??，第二項(xiàng)趨于無窮大，我們?nèi)〉舻诙?xiàng)，取試解代入與諧振子得出的方程非常相似，即Kummer’sdifferentialequation.P140頁(18),divergent取掉總結(jié)中的第二項(xiàng)，得到歸一化，導(dǎo)致能量量子化n稱為主量子數(shù),nr稱為徑向量子數(shù)。l稱為角動(dòng)量量子數(shù).a0稱為（Bohr）玻爾半徑n=1,為氫原子的結(jié)合能（bindingenergy）氫原子的波函數(shù)為歸一化常數(shù)為顯然,波函數(shù)的徑向部分取決于