“小題”變式探究

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1、“小題”變式探究  在數(shù)學(xué)世界里,你會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美妙千變?nèi)f化,稱之為“數(shù)學(xué)美”.在浩瀚無(wú)垠的數(shù)學(xué)題海里,下面要說(shuō)的這道題淋漓盡致地詮釋了它的美妙.  一、原型題目  如圖1,AB⊥BD于點(diǎn)B,CD⊥BD于點(diǎn)D,P是BD上一點(diǎn),且AP=PC,AP⊥PC,則△ABP≌△PDC.請(qǐng)說(shuō)明理由.  題目分析:本題出自華東師大版八年級(jí)上冊(cè)“全等三角形的判定”課后作業(yè)的一道習(xí)題.它是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形全等的判定的基礎(chǔ)上給出的一道題目,意在考查學(xué)生對(duì)三角形全等的判定的掌握程度.有哪些方法判定三角形全等,三角形全等必須具備哪些條件,如何尋找三角形全等的條件等,都是解決本題的關(guān)鍵.  設(shè)計(jì)意圖:本題意在考查學(xué)生

2、基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握程度.  解題思路:題目中已知AP=PC,且AB⊥BD于點(diǎn)B,CD⊥BD于點(diǎn)D,可以得出∠B=∠D=90°,再尋找一個(gè)條件便可以證明三角形全等,利用兩個(gè)角互余證明角相等是常用的一種方法,于是第三組條件不難找到.下面對(duì)題目進(jìn)行變式.  二、拓展變化  變式之前,先讓學(xué)生分析其特點(diǎn),從特殊到一般.數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題方法,運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想滲透解題思想.  1.結(jié)論的變化與拓展4  問(wèn)題的提出:從題目所給的信息中,你還能發(fā)現(xiàn)其他結(jié)論嗎?  變化一:如圖2,AB⊥BD于點(diǎn)B,CD⊥BD于點(diǎn)D,P是BD上一點(diǎn),且AP=PC,AP⊥PC觀察圖形猜想AB、BD、C

3、D之間的關(guān)系,并證明你的猜想.  題目分析:由題目條件出發(fā),不難證明△ABP≌△PDC,從而可以得出AB=PD,CD=BP,于是BD=AB+CD.但本題的設(shè)計(jì)比原型題證明三角形全等的難度大得多.首先學(xué)生應(yīng)該綜合分析題目中圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系,通過(guò)猜想三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,從而尋找圖中相等的線段,于是通過(guò)證明三角形全等解決這個(gè)問(wèn)題.  變化二:如圖3,已知A、D是一段圓弧上的兩點(diǎn),且在直線L的同側(cè),分別過(guò)這兩點(diǎn)作L的垂線,垂足為B、C,E是BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD、AE、DE,若點(diǎn)E恰為這段圓弧的圓心,則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明.  解題說(shuō)明:若點(diǎn)E恰為

4、這段圓弧的圓心,同樣可以知道∠AED=90°,題目自然可以轉(zhuǎn)化為變式一的形式解決.從圖形運(yùn)動(dòng)中找出規(guī)律,轉(zhuǎn)化為一般幾何證明問(wèn)題,探究解決新問(wèn)題的策略,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.  再探究:如圖4,當(dāng)A、D分別在直線L兩側(cè)且AB≠CD,而其余條件不變時(shí),線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出結(jié)論,不必證明.  設(shè)計(jì)理念:(1)經(jīng)歷觀察、猜想到驗(yàn)證的解決問(wèn)題方法;培養(yǎng)學(xué)生探究能力與解決問(wèn)題的能力.  (2)讓題設(shè)條件與圖形“動(dòng)”起來(lái),克服思維定勢(shì)和圖形位置定勢(shì),使學(xué)生習(xí)慣“開放”與“探究”的思維.4  解題思路:教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同知識(shí)、不同思想方法思考同一個(gè)問(wèn)題,能使各個(gè)

5、層次學(xué)生都達(dá)到一定的效果,使學(xué)生從單一的思維模式中解放出來(lái),達(dá)到以創(chuàng)新方式解決問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生思維開闊性、發(fā)散性和靈活性的目的.  2.弱化條件  弱化“直角”,則“全等三角形”結(jié)論仍然成立.  如圖5,△ABC和△CDE中,點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上,AC=CE,∠ACE=∠B=∠D,則△ABC≌△CDE.  解題思路:無(wú)論如何變換,本質(zhì)是三個(gè)角相等,應(yīng)用三角形相似(全等)解決.  設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)本題拓展,我們應(yīng)該教會(huì)學(xué)生善于思考,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生自主探索,鼓勵(lì)學(xué)生合作交流,獲得廣泛的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).  3.條件和結(jié)論的互逆變換  例:如圖6,兩個(gè)全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板A

6、CB如圖所示放置,E,A,C三點(diǎn)在一條直線上,連接BD,取BD中點(diǎn)M,連接EM,EC,試判斷△CME的形狀,并說(shuō)明理由.  設(shè)計(jì)意圖:本問(wèn)設(shè)計(jì)意圖是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察圖形,深入挖掘隱含的條件和結(jié)論,尋找知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系、轉(zhuǎn)化,激發(fā)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探索,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力,可以更好地分析題意.培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括、歸納及語(yǔ)言表達(dá)能力.  解題指導(dǎo):本題主要利用三角形全等的判定進(jìn)行證明、求解.4  具有較強(qiáng)代表性和典型性的習(xí)題是數(shù)學(xué)問(wèn)題的精華,教學(xué)不要忽視這些小題,要善于“借題發(fā)揮”,進(jìn)行一題多解、一題多變、多題組合,引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的規(guī)律性和方法,達(dá)到“做一

7、題、通一類、會(huì)一片”的教學(xué)效果,讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù),真正達(dá)到“輕負(fù)高效質(zhì)”,對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維、創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)素質(zhì),都將起到積極的推動(dòng)作用.4

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