近世代數(shù)--群的概念

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1、§1.2群的概念群的定義群的性質(zhì)群的判別一．群的定義定義1.2.1設(shè)是一個(gè)非空集合,若對(duì)中任意兩個(gè)元素通過某個(gè)法則“”，有中惟一確定的則稱法則“”為集合上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)元素與之對(duì)應(yīng),算（algebraicoperation）．元素是通過運(yùn)算“”作用的結(jié)果,我們將此結(jié)果記為例１有理數(shù)的加法、減法和乘法都是有理數(shù)集Q上的代數(shù)運(yùn)算,除法不是Q上的代數(shù)運(yùn)算．如果只考慮所有非零有理數(shù)的集合Q*,則除法是Q*上的代數(shù)運(yùn)算.剩余類集．對(duì)，規(guī)定例２設(shè)為大于1的正整數(shù)，為的模證我們只要證明,上面規(guī)定的運(yùn)算與剩余類的代表元的選取無關(guān)即可．設(shè)則于是從而則“＋”與“”都是上的代數(shù)運(yùn)算．所以+與都是

2、上的代數(shù)運(yùn)算.一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，即對(duì)所有的有如果的運(yùn)算還滿足(G1)結(jié)合律，即對(duì)所有的有；(G2)中有元素，使對(duì)每個(gè)，有定義1.2.2設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是上的(G3)對(duì)中每個(gè)元素，存在元素，使．在不致引起混淆的情況下,也稱為群．（unitelement）或恒等元（identity）；注1．(G2)中的元素稱為群的單位元(G3)中的元素稱為的逆元（inverse）．則稱關(guān)于運(yùn)算“”構(gòu)成一個(gè)群（group），記作我們將證明：群的單位元和每個(gè)元素的逆元都是惟一的．中元素的惟一的逆元通常記作．（commutativegroup）或阿貝爾群（abeliangroup)．，有，則稱是

3、一個(gè)交換群3．群中元素的個(gè)數(shù)稱為群的階（order），記為．如果是有限數(shù),則稱為有限群2．如果群的運(yùn)算還滿足交換律，即對(duì)任意的（finitegroup），否則稱為無限群（infinitegroup).例３整數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群．這個(gè)群稱為整數(shù)加群．證對(duì)任意的，有，所以“＋”是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算．同時(shí)，對(duì)任意的,有所以結(jié)合律成立.另一方面，且有又對(duì)每個(gè)有從而關(guān)于“＋”構(gòu)成群，顯然這是一個(gè)交換群．所以0為的單位元.所以是的逆元.注1．當(dāng)群的運(yùn)算用加號(hào)“＋”表示時(shí)，通常將的單位元記作0，并稱0為的零元；將的逆元記作,并稱為的負(fù)元．2．習(xí)慣上，只有當(dāng)群為交換群時(shí)，才用“＋”來表示

4、群的運(yùn)算，并稱這個(gè)運(yùn)算為加法，把運(yùn)算的結(jié)果叫做和，同時(shí)稱這樣的群為加群．相應(yīng)地,將不是加群的群稱為乘群，并把乘群的運(yùn)算叫做乘法，運(yùn)算的結(jié)果叫做積．在運(yùn)算過程中，乘群的運(yùn)算符號(hào)通常省略不寫．今后，如不作特別聲明，我們總假定群的運(yùn)算是乘法．當(dāng)然,所有關(guān)于乘群的結(jié)論對(duì)加群也成立（必要時(shí),作一些相關(guān)的記號(hào)和術(shù)語上改變）．例４全體非零有理數(shù)的集合Q*關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成交換群,這個(gè)群的單位元是數(shù)1，非零有理數(shù)的逆元是的倒數(shù)．同理，全體非零實(shí)數(shù)的集R*、全體非零復(fù)數(shù)的集合關(guān)于數(shù)的乘法也．構(gòu)成交換群．例５實(shí)數(shù)域R上全體階方陣的集合，關(guān)于矩陣的加法構(gòu)成一個(gè)交換群．全體階可逆方陣的集合關(guān)于矩陣

5、的乘法構(gòu)成群，群中的單位元是單位矩陣，可逆方陣的逆元是的逆矩陣當(dāng)時(shí)，是一個(gè)非交換群．例６集合關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成交換群關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成一個(gè)階交換群．證(1)對(duì)任意的，因?yàn)?所以例７全體次單位根組成的集合因此．于是“”是的代數(shù)運(yùn)算．(3)由于，且對(duì)任意的，所以1為的單位元．(4)對(duì)任意的，有，且所以有逆元．的乘法也滿足交換律和結(jié)合律．(2)因?yàn)閿?shù)的乘法滿足交換律和結(jié)合律，所以因此關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成一個(gè)群．通常稱這個(gè)群為次單位根群，顯然是一個(gè)具有個(gè)元素的交換群．例８設(shè)是大于1的正整數(shù)，則關(guān)于剩余類的加法構(gòu)成加群.這個(gè)群稱為的模剩余類加群．證(1)由例２知，剩余類的加法“＋”是的代數(shù)

6、運(yùn)算．(2)對(duì)任意的，所以結(jié)合律成立．(3)對(duì)任意的,所以交換律成立．(4)對(duì)任意的，且所以0為的零元．(5)對(duì)任意的,且所以為的負(fù)元．從而知，關(guān)于剩余類的加法構(gòu)成加群．　　□例９設(shè)是大于1的正整數(shù)，記則關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成群．證(1)對(duì)任意的，有于是，從而．(2)對(duì)任意的所以剩余類的乘法“”是的代數(shù)運(yùn)算．所以結(jié)合律成立.(3)因?yàn)?，從而，且?duì)任意的且所以1是的單位元．(4)對(duì)任意的，有，由整數(shù)的性質(zhì)可知，存在，使所以，且顯然所以為的逆元．從而知，的每個(gè)元素在中都可逆．這就證明了關(guān)于剩余類的乘法構(gòu)成群．　□注(1)群稱為的模單位群，顯然這是一個(gè)交換群．當(dāng)為素?cái)?shù)時(shí)，常記作.

7、易知，(2)由初等數(shù)論可知（參見[1]），的階等于,這里是歐拉函數(shù)．如果其中為的不同素因子，那么例10具體寫出中任意兩個(gè)個(gè)元素的乘積以及每一個(gè)元素的逆元素．易知直接計(jì)算，可得表1.2.1由表中很容易看出注觀察表1.2.1，我們發(fā)現(xiàn)可以把表1.2.1表示為更加簡(jiǎn)單的形式（見表1.2.2）．表1.2.2123411234224133314244321形如表1.2.2的表通常稱為群的乘法表（multiplicationtable），也稱群表（grouptable）或凱萊表（Cayleytable）．人們常用群表來表述有限群的運(yùn)算．如