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1、§1.2群的概念群的定義群的性質群的判別9/17/2021數學與計算科學學院一．群的定義定義1.2.1設是一個非空集合,若對中任意兩個元素通過某個法則“”，有中惟一確定的則稱法則“”為集合上的一個代數運元素與之對應,算（algebraicoperation）．元素是通過運算“”作用的結果,我們將此結果記為9/17/2021數學與計算科學學院例１有理數的加法、減法和乘法都是有理數集Q上的代數運算,除法不是Q上的代數運算．如果只考慮所有非零有理數的集合Q*,則除法是Q*上的代數運算.剩余類集．對，規(guī)定例２設為大于1的正整數，為的模9/17/20
2、21數學與計算科學學院證我們只要證明,上面規(guī)定的運算與剩余類的代表元的選取無關即可．設則于是從而則“＋”與“”都是上的代數運算．9/17/2021數學與計算科學學院所以+與都是上的代數運算.9/17/2021數學與計算科學學院一個代數運算，即對所有的有如果的運算還滿足(G1)結合律，即對所有的有；(G2)中有元素，使對每個，有定義1.2.2設是一個非空集合，“”是上的(G3)對中每個元素，存在元素，使9/17/2021數學與計算科學學院．在不致引起混淆的情況下,也稱為群．（unitelement）或恒等元（identity）；注1．(G2)
3、中的元素稱為群的單位元(G3)中的元素稱為的逆元（inverse）．則稱關于運算“”構成一個群（group），記作我們將證明：群的單位元和每個元素的逆元都是惟一的．中元素的惟一的逆元通常記作．9/17/2021數學與計算科學學院（commutativegroup）或阿貝爾群（abeliangroup)．，有，則稱是一個交換群3．群中元素的個數稱為群的階（order），記為．如果是有限數,則稱為有限群2．如果群的運算還滿足交換律，即對任意的（finitegroup），否則稱為無限群（infinitegroup).9/17/2021數學與計算科
4、學學院例３整數集關于數的加法構成群．這個群稱為整數加群．證對任意的，有，所以“＋”是上的一個代數運算．同時，對任意的,有所以結合律成立.另一方面，且有9/17/2021數學與計算科學學院又對每個有從而關于“＋”構成群，顯然這是一個交換群．所以0為的單位元.所以是的逆元.注1．當群的運算用加號“＋”表示時，通常將的單位元記作0，并稱0為的零元；將的逆元記作,并稱為的負元．9/17/2021數學與計算科學學院2．習慣上，只有當群為交換群時，才用“＋”來表示群的運算，并稱這個運算為加法，把運算的結果叫做和，同時稱這樣的群為加群．相應地,將不是加群
5、的群稱為乘群，并把乘群的運算叫做乘法，運算的結果叫做積．在運算過程中，乘群的運算符號通常省略不寫．今后，如不作特別聲明，我們總假定群的運算是乘法．當然,所有關于乘群的結論對加群也成立（必要時,作一些相關的記號和術語上改變）．9/17/2021數學與計算科學學院例４全體非零有理數的集合Q*關于數的乘法構成交換群,這個群的單位元是數1，非零有理數的逆元是的倒數．同理，全體非零實數的集R*、全體非零復數的集合關于數的乘法也．構成交換群．9/17/2021數學與計算科學學院例５實數域R上全體階方陣的集合，關于矩陣的加法構成一個交換群．全體階可逆方陣
6、的集合關于矩陣的乘法構成群，群中的單位元是單位矩陣，可逆方陣的逆元是的逆矩陣當時，是一個非交換群．例６集合關于數的乘法構成交換群9/17/2021數學與計算科學學院關于數的乘法構成一個階交換群．證(1)對任意的，因為,所以例７全體次單位根組成的集合因此．于是“”是的代數運算．9/17/2021數學與計算科學學院(3)由于，且對任意的，所以1為的單位元．(4)對任意的，有，且所以有逆元．的乘法也滿足交換律和結合律．(2)因為數的乘法滿足交換律和結合律，所以9/17/2021數學與計算科學學院因此關于數的乘法構成一個群．通常稱這個群為次單位根群
7、，顯然是一個具有個元素的交換群．9/17/2021數學與計算科學學院例８設是大于1的正整數，則關于剩余類的加法構成加群.這個群稱為的模剩余類加群．證(1)由例２知，剩余類的加法“＋”是的代數運算．(2)對任意的，所以結合律成立．9/17/2021數學與計算科學學院(3)對任意的,所以交換律成立．(4)對任意的，且所以0為的零元．9/17/2021數學與計算科學學院(5)對任意的,且所以為的負元．從而知，關于剩余類的加法構成加群． □9/17/2021數學與計算科學學院例９設是大于1的正整數，記則關于剩余類的乘法構成群．證(1)對任意的，有
8、于是，從而．(2)對任意的所以剩余類的乘法“”是的代數運算．9/17/2021數學與計算科學學院所以結合律成立.(3)因為，從而，且對任意的且所以1是的單位元．9/17/2021
