隱函數(shù)和隱函數(shù)組2.ppt

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1、隱函數(shù)組的存在性、連續(xù)性與可微性是函數(shù)方程組求解問題的理論基礎(chǔ).利用隱函數(shù)組的一般思想,又可進(jìn)而討論反函數(shù)組與坐標(biāo)變換等特殊問題.返回§2隱函數(shù)組三、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換一、隱函數(shù)組概念二、隱函數(shù)組定理一、隱函數(shù)組概念設(shè)有一組方程則稱由(1)確定了隱函數(shù)組之對應(yīng),能使其中定義在若存在使得對于任給的有惟一的并有關(guān)于隱函數(shù)組的一般情形(含有m+n個變量的m個方程所確定的n個隱函數(shù))，在本章不作詳細(xì)討論．首先來看看,若由方程組(1)能確定兩個可微的隱函數(shù),則函數(shù)應(yīng)滿足何種條件呢?不妨先設(shè)都可微,由復(fù)合求導(dǎo)法,通過對(1)分別求關(guān)于x與關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù),得到能由

2、(2)與(3)惟一解出　　　　　　　的充要條件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即由此可見，只要　　具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且其中是滿足(1)的某一初始點,則由保號性定理，　　　使得在此鄰域內(nèi)(4)式成立．根據(jù)以上分析,便有下述隱函數(shù)組定理.雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-1851,德國）定理18.4(隱函數(shù)組定理)設(shè)方程組(1)中的函數(shù)F與G滿足下列條件：(i)在以點為內(nèi)點的某區(qū)域上連續(xù)；(ii)(初始條件);(iii)在V內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；(iv)二、隱函數(shù)組定理即有則有如下結(jié)論成立：且滿足必定存在鄰域其中使得在上連續(xù).在上

3、存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且有本定理的詳細(xì)證明從略(第二十三章有一般隱函數(shù)定理及其證明),下面只作一粗略的解釋:①由方程組(1)的第一式確定隱函數(shù)②將代入方程組(1)的第二式,得③再由此方程確定隱函數(shù)并代回至這樣就得到了一組隱函數(shù)通過詳細(xì)計算,又可得出如下一些結(jié)果:例1設(shè)有方程組試討論在點的近旁能確定怎樣的隱函數(shù)組？并計算各隱函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù).解易知點滿足方程組(5).設(shè)它們在　上有連續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù).再考察在點關(guān)于所有變量的雅可比矩陣由于因此由隱函數(shù)組定理可知,在點近旁可以惟一地確定隱函數(shù)組:但不能肯定y,z可否作為x的兩個隱函數(shù).運用定理18.4的結(jié)論,

4、可求得隱函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)值:*注通過詳細(xì)計算,還能求得這說明處取極大值,從而知道在點的任意小鄰域內(nèi),對每一個x的值,會有多個y的值與之對應(yīng).類似地,對每一個x的值,也會有多個z的值與之對應(yīng).所以方程組(5)在點近旁不能惟一確定以x作為自變量的隱函數(shù)組.例2設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),是由方程組所確定的隱函數(shù)組.試求解設(shè)則有由此計算所需之雅可比行列式:于是求得注計算隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù))比較繁瑣,要學(xué)懂前兩例所演示的方法(利用雅可比矩陣和雅可比行列式),掌握其中的規(guī)律.這里特別需要“精心＋細(xì)心＋耐心”.三、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換設(shè)有一函數(shù)組它確定了一個映射

5、(或變換):寫成點函數(shù)形式,即為并記的象集為現(xiàn)在的問題是:函數(shù)組(6)滿足何種條件時,存在逆變換即存在亦即存在一個函數(shù)組使得滿足這樣的函數(shù)組(7)稱為函數(shù)組(6)的反函數(shù)組.它的存在性問題可化為隱函數(shù)組的相應(yīng)問題來處理.為此,首先把方程組(6)改寫為然后將定理18.4應(yīng)用于(8),即得下述定理.定理18.5(反函數(shù)組定理)設(shè)(6)中函數(shù)在某區(qū)域上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),是的內(nèi)點,且則在點的某鄰域內(nèi),存在惟一此外,反函數(shù)組(7)在內(nèi)存在連續(xù)的一階的一組反函數(shù)(7),使得偏導(dǎo)數(shù);若記則有同理又有由(9)式進(jìn)一步看到:此式表示:互為反函數(shù)組的(6)與(7),

6、它們的雅可比行列式互為倒數(shù),這和以前熟知的反函數(shù)求導(dǎo)公式相類似.于是可把一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)組(6)的雅可比行列式看作對應(yīng)物.例3平面上點的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換為試討論它的逆變換.解由于因此除原點(r=0)外,在其余一切點處,T存在逆變換例4空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換為(見圖18－5)圖18－5由于因此在(即除去Oz軸上的一切點)時,存在逆變換例5設(shè)有一微分方程(弦振動方程):其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).試問此方程在坐標(biāo)變換之下,將變成何種形式?解據(jù)題意,是要把方程(10)變換成以u,v作為自變量的形式.現(xiàn)在按此目標(biāo)計算如下:首先有故T

7、的逆變換存在,而且又有依據(jù)一階微分形式不變性,得到并由此推知繼續(xù)求以u,v為自變量的與的表達(dá)式:最后得到以u,v為自變量的微分方程為1.驗證:定理18.4的結(jié)論可以寫成2.驗證:由定理18.5的(9)式(課本中為(13)式)可以推得復(fù)習(xí)思考題