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1、雨中行走問題［問題的背景與提出］人們外出行走,途中遇雨,未帶雨傘勢必淋雨,自然就會想到,走多快才會少淋雨呢？一個簡單的情形是只考慮人在雨中沿直線從一處向另一處進行時,雨的速度（大小和方向）已知,問行人走的速度多大才能使淋雨量最少？參與這問題的因素：降雨的大??；風（降雨）的方向；路程的遠近和人跑的快慢［模型的假設］［模型的建立］當雨水是迎面而來落下時,被淋濕的部分將僅僅 是人體的頂部和前方.再考慮人體前部的雨水量：［數據假設及模型求解］這表明人體僅僅被頭頂部位的雨水淋濕.實際上這意味著人體剛好跟著雨滴向前走,
2、身體前后將不被淋雨.［結論］———以上參見劉來?！稊祵W模型與數學建?！稰32以下參見任善強《數學模型》P23解法二：又設于是單位時間淋雨量正比于于是單位時間淋雨量正比于總淋雨量正比于其中于是雨中行走問題抽象成如下數學問題：1.時,2.其圖象為（如右圖）易知無最小值.§3生產中的建模問題一.生產安排問題［問題的提出］某工廠生產甲、乙兩種產品,生產每件產品需要原材料、能源消耗、勞動力及所獲利潤如下表所示：現有庫存原材料1400千克；能源消耗總額不超過2400百元；全廠勞動力滿員為2000人.試安排生產任務（生產
3、甲、乙產品各多少件）,使獲得利潤最大,并求出最大利潤.［模型的建立］設安排生產甲產品件,乙產品件,相應的利潤為,則此問題的數學模型為這是一個整數線性規(guī)劃問題.此時由解得［模型的求解］方法一：圖解法易知：當過與的交點時,取最大值.［數學規(guī)劃的若干基本概念］目標函數、約束條件、決策變量、線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、可行域、線性規(guī)劃問題的標準形式、可行解、最則最優(yōu)解在可行域的頂點達到.目標函數、約束條件、決策變量、線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、可行域、線性規(guī)劃問題的標準形式、可行解、最優(yōu)解.結論一：線性規(guī)劃
4、若存在可行域,則可行域為凸集；結論二：若可行域有界,則最優(yōu)解在可行域的頂點達到.二.化學試劑配制問題［問題的提出］［問題的分析］設種化學試劑為.試驗條件為：①每一組安排4種試劑；②任意兩種試劑都恰好有兩次被安排在同組中進行試驗.現在要把以上個2－組合分成組,每一組有個2－組合,且這個2－組合恰好由4種試劑構成.［模型的建立及求解］數學模型：2.若試驗方案存在,則它有多少種呢？［進一步的問題］1.試驗方案存在的充要條件是什么？3.若試驗方案存在,則又如何構造呢？4.若把條件改為“任意兩種試劑都恰好有次被安排在
5、同組中進行試驗”,則有關的結論如何？§4生活中的建模問題一.組織春游問題［問題的提出］某校組織春游,可以租用兩種型號的客車：45座客車和60座客車.已知45座客車的租金為每輛250元,60座客車的租金為每輛300元；又若單獨租用45座客車若干輛,則剛好坐滿；若單獨租用60座客車,可少租一輛且余30個座位.1.求該校參加春游的人數；2.試確定租車方式（兩種型號的車各租多少輛）,使租車總費用最少.［模型的建立］1.關于該校參加春游的人數（基本模型）設該校參加春游人數為,則有如下方程（數學模型）解此方程（求解模型
6、）,得2.設使用45座客車數為,使用60座客車數為,則數學模型為………………(1)或……………(2)［模型的求解］解法一：圖解法數學規(guī)劃的解為令得：令得故數學模型（1）或（2）的解為解法二：用Lindo軟件或Maple軟件求解.二、最佳存款問題［問題的提出］中國人民銀行經過幾次下調存款利率,目前銀行整存整取的年利率如下表（2001年6月13日抄錄）：現有一位剛升入初一的學生,家長欲為其存一萬元,以供6年后上大學使用.若此期間利率不變,請為其設計一種存款方案,使6年后所獲收益最大,并求出最大收益.［模型的建立
7、］則本問題的數學模型為［模型的求解］方法一：于是可設.故收益最大的存款方式為存一次一年期再存一次五年期.最大收益為1697.4元.方法二：用數學軟件或編程求解.三、彩電價格問題［問題的提出］某一種牌號的彩電,現在的價格為3500元,銷售量為20萬臺.市場調查顯示：如果價格每降低100元可多銷2萬臺,但若降到2600元,則廠家銷售收入恰抵生產成本；如果價格每提價100元,將少銷售2.2萬臺,但價格提到5000元時則無人購買.假設每臺彩電成本不隨產量而變化,試確定彩電價格,使廠家利潤最大.［模型的建立及求解］設
8、當彩電價格為元時,其銷售量為萬臺,則.1.由條件故2.由條件故,.于是廠家銷售利潤（數學模型）為當時,.令得,.且.故彩電價格為3504.55元時,廠家利潤最大,其最大利潤為18000.45元.習題二
