隱函數(shù)和隱函數(shù)組.ppt

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1、§4條件極值條件極值問題的特點(diǎn)是:極值點(diǎn)的搜索范圍要受到各自不同條件的限制.解決這類極值問題的方法叫做拉格朗日乘數(shù)法.三、應(yīng)用舉例返回一、問題引入二、拉格朗日乘數(shù)法條件極值問題的實(shí)際應(yīng)用非常廣泛,而且還能用來證明或建立不等式.一、問題引入很多極值問題,目標(biāo)函數(shù)的自變量不能在其定義域上自由變化,而是要受到某些條件的約束.例1要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的長(zhǎng)方形無蓋水箱,試問長(zhǎng)、寬、高各等于多少時(shí),可使得表面積達(dá)到最小?若設(shè)長(zhǎng)、寬、高各等于x,y,z,則目標(biāo)函數(shù):約束條件:例2設(shè)曲線求此曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離之最大、最小值.

2、對(duì)此問題有目標(biāo)函數(shù):約束條件:還可舉出很多這種帶有約束條件的極值問題.定義設(shè)目標(biāo)函數(shù)為約束條件為如下一組方程:為簡(jiǎn)便起見,記并設(shè)若存在則稱是在約束條件之下的極小值(或最小值),稱是相應(yīng)的極小值點(diǎn)(或最小值點(diǎn)).類似地又可定義條件極大(或最大)值.二、拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法探源先從n=2,m=1的最簡(jiǎn)情形說起,即設(shè)目標(biāo)函數(shù)與約束條件分別為若由確定了隱函數(shù)則使得目標(biāo)函數(shù)成為一元函數(shù)再由求出穩(wěn)定點(diǎn)在此點(diǎn)處滿足這表示的等值線18－12).由此推知:存在比例常數(shù)滿足這又表示:對(duì)于函數(shù)圖18－12與曲線在有公共切線

3、(見圖點(diǎn)在點(diǎn)處恰好滿足:也就是說,(2)式是函數(shù)在其極值點(diǎn)處所滿足的必要條件.由此產(chǎn)生了一個(gè)重要思想:通過引入輔助函數(shù)把條件極值問題(1)轉(zhuǎn)化成為關(guān)于這個(gè)輔助函數(shù)的普通極值問題.(B)拉格朗日乘數(shù)法對(duì)于前面定義中所設(shè)的一般目標(biāo)函數(shù)和約束條件組,應(yīng)引入輔助函數(shù)稱此函數(shù)為拉格朗日函數(shù),其中稱為拉格朗日乘數(shù).定理18.6設(shè)上述條件極值問題中的函數(shù)在區(qū)域D上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù).若D的內(nèi)點(diǎn)是該條件極值問題的極值點(diǎn),且則存在m個(gè)常數(shù)使得個(gè)方程的解:說明對(duì)于n=2,m=1的情形,已在前面作了說明;對(duì)一般情形的證明,將放到二十

4、三章的定理23.19中去進(jìn)行.為拉格朗日函數(shù)(3)的穩(wěn)定點(diǎn),即它是如下三、應(yīng)用舉例定理18.6指出的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.下面用這種方法先來求解本節(jié)開頭給出的兩個(gè)例題.例1解此例以往的解法是從條件式解出顯函數(shù),例如代入目標(biāo)函數(shù)后,轉(zhuǎn)而求解的普通極值問題.可是這樣做并不總是方便的,而且往往無法將條件式作顯化處理,更不用說多個(gè)條件式的情形了.現(xiàn)在的新辦法是設(shè)輔助函數(shù)并求解以下方程組:為消去,將前三式分別乘以x,y,z,則得兩兩相減后立即得出再代入第四式,便求得注由以上結(jié)果還可以得到一個(gè)不等式(這是獲得不等式的一

5、種好方法).那就是具體算出目標(biāo)函數(shù)(表面積)的最小值:去V后便得不等式例2解這里有兩個(gè)條件式,需要引入兩個(gè)拉格朗日常數(shù);而且為了方便計(jì)算,把目標(biāo)函數(shù)改取距離于是有其中消的平方(這是等價(jià)的),即設(shè)求解以下方程組:由此又得再代入條件式,繼而求得:(這里否則將無解)最后得到故原點(diǎn)至已知曲線上點(diǎn)的最小距離與最大距離分別為例3已知圓柱面它與平面相交得一橢圓,試求此橢圓的面積.分析(i)如果能求得該橢圓的長(zhǎng)、短半軸a與b,則橢圓面積為(ii)由方程(4)看到,此圓柱面關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)是對(duì)稱的,故此圓柱面的中心軸是通過坐標(biāo)原點(diǎn)

6、的某一直線;(iii)因?yàn)樗o平面也是通過坐標(biāo)原點(diǎn)的,所以此平面上的橢圓截線必以坐標(biāo)原點(diǎn)為其中心點(diǎn).解由以上分析,自原點(diǎn)至橢圓上任意點(diǎn)(x,y,z)的距離之最大、小值，就是該橢圓的長(zhǎng)、短半軸.(說明:本例的題型與例2相類似,但在具體計(jì)算策略上將有較大差異.)設(shè)拉格朗日函數(shù)為并令對(duì)(5),(6),(7)三式分別乘以x,y,z后相加,得到借助(8),(9)兩式進(jìn)行化簡(jiǎn),又得這說明的極值就是這里的(即的極值就是),問題便轉(zhuǎn)而去計(jì)算為此先從(5)－(8)式消去得到一個(gè)線性方程組:它有非零解(x,y,z)的充要條件是由

7、前面討論知道,方程(10)的兩個(gè)根就是的最大、小值,即于是說明(i)一旦由方程(5)－(9)能直接求得橢圓的長(zhǎng)、短半軸,那就不必再去計(jì)算橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z)了,這使解題過程簡(jiǎn)單了許多.(ii)若用解析幾何方法來處理本例的問題,則需要出緯圓半徑和緯圓面積還有平面的法線與l夾角的余弦然后根據(jù)面積投影關(guān)系最后求得橢圓先求出圓柱面的中心軸所在直線l:再求面積為例4設(shè)光滑封閉曲線證明:上任意兩個(gè)相距最遠(yuǎn)點(diǎn)處的切線互相平行,且垂直于這兩點(diǎn)間的連線(見圖18－13).證由于是光滑封閉曲線,所以滿足:(i)F在一個(gè)包

8、含的開域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),圖18－13且(ii)在上必有相距最遠(yuǎn)的點(diǎn).設(shè)為上相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn),則點(diǎn)為目標(biāo)函數(shù)在約束條件之下的極大值點(diǎn).于是由拉格朗日乘數(shù)法,存在成為拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).從而滿足由前兩式與后兩式分別得到前者表示后者表示所以在兩點(diǎn)處的切線互相平行,且垂直于*例5試求函數(shù)在條件下的最小值,并由此導(dǎo)出相應(yīng)的不等式.解設(shè)并使由此方程組易得下面給出是條件最小值的理由.都使得故存在又設(shè)由于為一