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1、傅淑婷老師指導(dǎo)李重毅?呂怡學(xué)?彭柏諺製作如右圖，PQRS是一個(gè)正方形，在它的四邊上畫(huà)上四個(gè)直角三角形，假設(shè)這四個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)除了邊a、b、c、d相等外，其餘皆不相等，求邊e、f、g、h、i、j、k、l的正整數(shù)解。研究動(dòng)機(jī)（一）、找出這個(gè)題目的解法。並歸納出這個(gè)題目在a為不同數(shù)時(shí)的各種狀況。（二）、歸納出如何快速由一個(gè)正整數(shù)找出和他有畢氏數(shù)對(duì)關(guān)係的其他正整數(shù)方法。（三）、探討畢氏數(shù)對(duì)的系列規(guī)則。研究目的研究過(guò)程（一）這是毛西氏的公式 其中，我們知道和必為這個(gè)畢氏數(shù)組的兩股，因此我們可以利用這個(gè)特性來(lái)解上面的題目。上圖所謂正方形的邊長(zhǎng)
2、a、b、c、d，即為四周的正三角形的一股，所以a＝b＝c＝d＝or研究過(guò)程（二）於是，我們將a用1~100的數(shù)代入。開(kāi)始了一連串恐怖的計(jì)算惡夢(mèng)。無(wú)意間發(fā)現(xiàn)，在某些數(shù)組中出了問(wèn)題…以15為例…N個(gè)小時(shí)後令a=15（I）無(wú)整數(shù)解（II）15=1×15（不合） =15×1 =3×5（不合） =5×3m+n=15 m-n=1 m=8,n=7求出數(shù)對(duì)（15，112，113）m+n=5 m-n=3 m=4,n=1求出數(shù)對(duì)（8，15，17）總共兩組解、於是我們想到一個(gè)方法來(lái)將所有的解找出來(lái)。同樣以a＝15為例，我們將15因數(shù)分解，15＝3×5，15
3、的所有因數(shù)有，1、3、5、15，我們已知道1沒(méi)有整數(shù)解，而3和5各有兩組解，分別為（3，4，5）和（12，13，5），我們將（3，4，5）乘以5；將（12，13，5）乘以3，得到數(shù)組（15，20，25）和（36，39，15），所以我們研判當(dāng)a＝15，可以找出四個(gè)不同的直角三角形。但是這個(gè)方法實(shí)在是太麻煩了，而且疑點(diǎn)實(shí)在是太多了，我們有以下疑問(wèn)：研究過(guò)程（三）像這樣的題目，可以滿(mǎn)足畢氏定理的另一股及斜邊的正整數(shù)是否有限？當(dāng)a為質(zhì)數(shù)時(shí)，只有一組解嗎？疑問(wèn)求證令，也就是說(shuō)，當(dāng)x是固定的時(shí)候，欲求y，代數(shù)只要代到x的平方就可以找出他的所有解；
4、換言之他的解是有限的。目的：證明他的解是有限的令，x必是奇數(shù)，因此的因數(shù)只有1和x。所以，此時(shí)有兩種狀況：（I），則（無(wú)整數(shù)解）（II），則我們知道一個(gè)奇數(shù)必為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，所以z和y是連續(xù)正整數(shù)，只有這一組解。證明質(zhì)數(shù)只有一組解我們?cè)倮肊xcel程式，將一股代入100以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)，再將另一股定為1到10000的整數(shù)（因?yàn)樯厦嫖覀冎澜馐怯邢薜?，且另一股必小於的一半，?00之中最大的質(zhì)數(shù)是97，他的平方的一半為4704.5，所以將另一股定為1到10000的整數(shù)是綽綽有餘的），最後求其斜邊，經(jīng)代入多個(gè)質(zhì)數(shù)後，發(fā)現(xiàn)都只有一組解，於是
5、得證當(dāng)a為質(zhì)數(shù)時(shí)，只有一組解。Excel程式之運(yùn)用現(xiàn)在，回歸到報(bào)告原本的主題，到底a的性質(zhì)會(huì)不會(huì)影響到解的數(shù)量？它們之間到底有什麼關(guān)係？我們使用Excel程式快速運(yùn)算，算出當(dāng)a為1到100的整數(shù)時(shí)，各有多少組解：研究過(guò)程（四）a解102031415161718292101111124131141154163171182191204214221231247252Excel表格觀察上頁(yè)的表格，我們發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律：狀況無(wú)整數(shù)解一組解兩組解三組解四組解五組解七組解十組解數(shù)的特性小於等於2的正整數(shù)。質(zhì)數(shù)。質(zhì)因數(shù)只有兩個(gè)，且至少一個(gè)為2。大於2的質(zhì)
6、數(shù)的平方。質(zhì)數(shù)的平方的兩倍?？煞纸獬蓛蓚€(gè)具有因、倍數(shù)關(guān)係的合數(shù)。因數(shù)為兩個(gè)相異且大於二的質(zhì)數(shù)可以分解成4和一個(gè)大於2的質(zhì)數(shù)的乘積。可以分解成6和一個(gè)大於2的質(zhì)數(shù)的乘積。例外：32、70、81只有64…………….…………….說(shuō)明：1.1.無(wú)整數(shù)解：a為小於等於2的正整數(shù)，也就是1和2，經(jīng)計(jì)算證明。2.一組解：a為質(zhì)數(shù)的狀況，請(qǐng)參考上面第(7)點(diǎn)證明。 a的質(zhì)因數(shù)只有兩個(gè)，且至少一個(gè)為2。證明：設(shè)，令x=2n（n為質(zhì)數(shù)）（I）c、b為偶數(shù)，令c=2p，b=2q一組解（II）c、b為奇數(shù)，令c=2p+1，b=2q+1（無(wú)整數(shù)解）因此證明只有
7、一組解。雖然我覺(jué)得這個(gè)和上面的沒(méi)有什麼關(guān)係，但我認(rèn)為還是蠻有意義的。我們利用Excel程式，同樣利用毛西氏的公式，將n代1~15的整數(shù)、m代1~50的整數(shù)，算出一大推的畢氏數(shù)，然後探討畢氏數(shù)對(duì)的系列規(guī)則。我們發(fā)現(xiàn)：研究過(guò)程（五）【三數(shù)互質(zhì)，且較大的一股與斜邊必為連續(xù)正整數(shù)】＊即使用毛西氏公式將n代1，m代任何奇數(shù)。例：（3、4、5）、（5、12、13）、（7、24、25）、（9、40、41）……。系列一【三數(shù)互質(zhì)，且較大的一股與斜邊必相差2，且皆為奇數(shù)】＊即使用毛西氏公式將n代1，m代任何偶數(shù)公式：，m=偶數(shù)例：（8、15、17）、（
8、12、35、37）、（16、63、65）、（20、99、101）…….。系列二【當(dāng)m=xn時(shí)（x為>1的奇數(shù)），所得到的畢氏數(shù)對(duì)中，經(jīng)約分後，最小的一個(gè)數(shù)＝x】例：令m=3n，求出數(shù)對(duì)（6、8、10），約分後變成數(shù)對(duì)（3
