變步長(zhǎng)的梯形積分方法的應(yīng)用.doc

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1、CENTRALSOUTHUNIVERSITY數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告變步長(zhǎng)的梯形積分方法的應(yīng)用一、問題背景實(shí)際問題當(dāng)中常常需要計(jì)算積分，有些數(shù)值方法，如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計(jì)算相關(guān)聯(lián)。依據(jù)人們所熟知的微積分基本定理，對(duì)于積分，只要找到被積分函數(shù)的原函數(shù)，便有下列牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式：.但實(shí)際使用這種求積分方法往往有困難，因?yàn)榇罅康谋环e函數(shù)，諸如，等，其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表達(dá)，故不能用上述公式計(jì)算。即使能求得原函數(shù)的積分，有時(shí)計(jì)算也十分困難。例如對(duì)于被積函數(shù)，其原函數(shù)，計(jì)算，仍然很困難，另外，當(dāng)是由測(cè)量或數(shù)值計(jì)算給出的一張

2、數(shù)據(jù)表時(shí)，牛頓-萊布尼茨公式也不能直接運(yùn)用。因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問題。二、數(shù)學(xué)模型由于牛頓-科特斯積分公式在時(shí)不具有穩(wěn)定性，故不能通過提高階數(shù)的方法來提高求積精度。為了提高精度通常可以把積分區(qū)間劃分成若干的子區(qū)間（通常是等分），再在每個(gè)子區(qū)間上用低階求積公式。這種方法稱為復(fù)合求積法。復(fù)合梯形法雖然方法簡(jiǎn)單，但是卻不能估計(jì)積分精度，這有時(shí)候是很不方便的。要想控制積分精度，可以采用如下的方法，設(shè)積分區(qū)間已經(jīng)劃分為n個(gè)子區(qū)間，這時(shí)再把區(qū)間劃分更細(xì)，給出新的積分結(jié)果，如果前后兩次積分的差比給定的誤差容限小的話，則停止細(xì)華否則繼續(xù)增加積分區(qū)間。這種方法原理很簡(jiǎn)單

3、也容易實(shí)現(xiàn)，但是實(shí)際計(jì)算中一般采用的比較少，因?yàn)檫@種方法比較機(jī)械效率不是太高，實(shí)際上采用比較多的通常是Romberg方法。三、算法及流程給定義誤差容限小量TOL，對(duì)于，有復(fù)合梯形公式如果前后兩次的劃分的積分計(jì)算結(jié)果大于給定的誤差TOL，則增加劃分區(qū)間，如果滿足精度，則停止細(xì)化，并輸出結(jié)果。MATLAB實(shí)現(xiàn)過程：%可控精度復(fù)合梯形法計(jì)算積分問題function[jifen,num]=kong_tixing(a,b,tol)%a,b為積分區(qū)間%tol為積分精度，默認(rèn)為10的-3次方if(nargin==3)eps=1.0e-3;endn=1;h=(b-a)/2;i

4、nt_1=0;%調(diào)用方程函數(shù)int_2=(kong_t_f(a)+kong_t_f(b))/h;%如果前后兩次誤差小于給定的精度，則停止細(xì)化積分區(qū)間whileabs(int_2-int_1)>toln=n+1;h=(b-a)/n;int_1=int_2;int_2=0;fori=0:n-1x=a+h*i;x1=x+h;int_2=int_2+(h/2)*(kong_t_f(x)+kong_t_f(x1));endend%積分結(jié)果jifen=int_2;%區(qū)間劃分細(xì)度num=n;將文件以文件名kong_tixing.m保存。四、計(jì)算結(jié)果及分析計(jì)算定積分要求輸出精

5、度為10-4。打開Editor編寫如下程序，并將文件以文件名kong_t_f.m保存。functionf=kong_t_f(x)f=exp(-x^2);打開Editor編寫如下程序，并將文件以文件名kong_t_main.m保存。%可控精度的梯形積分方法%精度為0.1[s_1,num_1]=kong_tixing(0,1,1e-1)%精度為0.01[s_2,num_2]=kong_tixing(0,1,1e-4)%精度為0.001[s_1,num_3]=kong_tixing(0,1,1e-7)%畫出積分圖形x=0:0.02:1;y=exp(-x.^2);ar

6、ea(x,y)在MATLAB命令窗口輸入輸入>>kong_t_main點(diǎn)擊Enter鍵后得到：s_1=0.6682num_1=3s_2=0.3441num_2=12s_1=0.5303num_3=108從輸出的結(jié)果可以看出，要達(dá)到10-4精度，需要把區(qū)間劃分為12個(gè)子區(qū)間，而要達(dá)到10-7精度，則要把區(qū)間劃分為108個(gè)子區(qū)間。事實(shí)上，函數(shù)的積分總區(qū)間跨度不是很大，所以在劃分為108個(gè)子區(qū)間后已經(jīng)是對(duì)函數(shù)取點(diǎn)很密集了。下圖給出了積分的幾何意義，積分的結(jié)果即圖中藍(lán)色區(qū)域面積，從輸出結(jié)果可以看出藍(lán)色區(qū)域面積約為0.5303。