現(xiàn)代控制理論-復(fù)習(xí)第四章.pptx

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1、4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義4.2李雅普諾夫第一法4.3李雅普諾夫第二法4.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用第4章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在平衡狀態(tài)受到擾動(dòng)后，系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，通常只存在唯一一個(gè)平衡狀態(tài)，因此將平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性視為整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于其它系統(tǒng)，平衡點(diǎn)不止一個(gè)，系統(tǒng)中不同的平衡點(diǎn)有著不同的穩(wěn)定性，只能討論某一平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。一、平衡狀態(tài)令u=0，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為f(xe，t）=0若對(duì)所有的t，狀態(tài)x滿(mǎn)足，則稱(chēng)該狀態(tài)x為平衡狀態(tài)，記為xe。x(t0)=x0由平衡狀態(tài)xe在狀態(tài)空間中所確定的點(diǎn)，稱(chēng)為平

2、衡點(diǎn)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)應(yīng)滿(mǎn)足Axe=0當(dāng)A為非奇異，則存在唯一一個(gè)平衡狀態(tài)xe=0。當(dāng)A為奇異，則有無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為對(duì)于非線性系統(tǒng)，方程f(xe，t)=0的解可能有多個(gè)，即可能有多個(gè)平衡狀態(tài).例4.1因此該系統(tǒng)有三個(gè)平衡狀態(tài)二、范數(shù)的概念在n維狀態(tài)空間中，向量x的長(zhǎng)度稱(chēng)為向量x的范數(shù)，用‖x‖表示，則：向量（x?xe）范數(shù)可寫(xiě)成：表示矢量x與平衡狀態(tài)xe的距離則稱(chēng)平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的。若?與t0無(wú)關(guān)，則稱(chēng)平衡狀態(tài)xe是一致穩(wěn)定的。從任意初始狀態(tài)x0出發(fā)所對(duì)應(yīng)的解x，滿(mǎn)足1.穩(wěn)定2.漸近穩(wěn)定則稱(chēng)平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。且對(duì)于任意小μ>0，總有

3、若對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)?>0，總存在?(?,t0)>0，使得‖x0?xe‖??(?,t0)的任意初始狀態(tài)x0所對(duì)應(yīng)的解x，在所有時(shí)間內(nèi)都滿(mǎn)足‖x?xe‖??（t?t0）x1x2xeS(?)??S(?)x0x若平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，即當(dāng)t無(wú)限增大時(shí)，狀態(tài)軌跡不超過(guò)，且最終收斂于xe，則稱(chēng)平衡狀態(tài)xe漸近穩(wěn)定。3.大范圍漸近穩(wěn)定在整個(gè)狀態(tài)空間中，對(duì)所有初始狀態(tài)x0出發(fā)的軌跡都具有漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定的。注：（1）由于從狀態(tài)空間中的所有點(diǎn)出發(fā)的軌跡都要收斂于xe，因此系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡狀態(tài)，這也是大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件。（2）對(duì)于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)A為非奇

4、異的，系統(tǒng)只有一個(gè)唯一的平衡狀態(tài)xe=0。所以若線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。（3）對(duì)于非線性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)通常有多個(gè)平衡點(diǎn)，因此非線性系統(tǒng)通常只能在小范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)ε>0和任一實(shí)數(shù)δ>0，在球域S(δ)內(nèi)總存在一個(gè)初始狀態(tài)x0，使得從這一初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡最終將超出球域S(ε)，則稱(chēng)該平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。4.不穩(wěn)定球域S(δ)限制初始狀態(tài)x0取值，球域S(ε)規(guī)定了系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的邊界。因此，（1）如果x(t)有界，則xe穩(wěn)定；（2）如果x(t)有界且，則xe漸近穩(wěn)定；（3）如果x(t)無(wú)界，則xe不穩(wěn)定；（4）經(jīng)典控制理論中，只有

5、漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱(chēng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；只在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)則稱(chēng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。總結(jié)：4.2李雅普諾夫第一法利用系統(tǒng)的特征值或微分方程及狀態(tài)方程解的性質(zhì)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。它適用于線性定常系統(tǒng)、線性時(shí)變系統(tǒng)及非線性系統(tǒng)可以線性化的情況。一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)1.線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)，平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是A的特征值均具有負(fù)實(shí)部，即Re(?i)<0（i=1，2，…，n）輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)G(s)=c(sI-A)-1b的極點(diǎn)全部位于s的左半平面。例4-2：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為解:狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定.系統(tǒng)傳遞函數(shù)輸出穩(wěn)定特征根輸出的漸

6、近穩(wěn)定狀態(tài)的漸近穩(wěn)定4.2李雅普諾夫第二法一、基本思想如果一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后，其存儲(chǔ)的能量隨時(shí)間增長(zhǎng)而連續(xù)地減小，一直到平衡狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的能量減少到最小，則平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。二、預(yù)備知識(shí)P稱(chēng)為二次型矩陣。1、二次型標(biāo)量函數(shù)v(x)標(biāo)量函數(shù)的各項(xiàng)最高次數(shù)不超過(guò)2次若P為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則必存在正交矩陣T,使得：只包含變量的平方項(xiàng)，稱(chēng)為二次型函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形。2、二次型標(biāo)量函數(shù)v(x)的定號(hào)性當(dāng)x=0時(shí)，v(x)=0；當(dāng)x≠0時(shí)，如果v(x)>0，那么v(x)為正定；如果v(x)≥0，那么v(x)為正半定；如果v(x)<0，那么v(x)為負(fù)定；如果v(x)≤0，那么v(x)為半負(fù)定；

7、二次型函數(shù)v(x)和它的二次型矩陣P是一一對(duì)應(yīng)的。設(shè)二次型函數(shù)v(x)=xTPx，P為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則定義如下：當(dāng)v(x)是正定的，稱(chēng)P是正定的，記為P>0；當(dāng)v(x)是負(fù)定的，稱(chēng)P是負(fù)定的，記為P<0；當(dāng)v(x)是正半定的，稱(chēng)P是正半定的，記為P?0；當(dāng)v(x)是負(fù)半定的，稱(chēng)P是負(fù)半定的，記為P?0。3、二次型標(biāo)量函數(shù)v(x)的定號(hào)性判據(jù)（1）v(x)正定的充要條件是：P陣的所有各階主子行列式均大于零，即（2）v(x)負(fù)定的充要條件是：P陣的各階主子式滿(mǎn)足即（3）v(x)為正半定的充要條件是：P各階主子式滿(mǎn)足（4）v(x)為負(fù)