蔡氏混沌電路的分析與仿真

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1、蔡氏混沌電路分析與仿真1蔡氏電路混沌理論自20世紀(jì)70年代以來(lái)已成為許多不同學(xué)科領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。粗略地說(shuō)，混沌是發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的一種不確定行為，或類似隨機(jī)的行為。混沌運(yùn)動(dòng)是另一種非周期運(yùn)動(dòng)。混沌的一個(gè)顯著特點(diǎn)是：狀態(tài)變量的波形對(duì)狀態(tài)變量的初始值極為敏感，或者說(shuō)初始值對(duì)波形有重大影響?；煦绗F(xiàn)象廣泛的存在于非線性電路中，其中比較典型并已得到深入研究的電路是二階非自治鐵磁諧振電路和稱為蔡氏電路的三階自治電路。蔡氏電路是著名的非線性混沌電路，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但卻出現(xiàn)雙渦卷奇怪吸引子和極其豐富的混沌動(dòng)力學(xué)行為。近二十年來(lái)，通過(guò)人們對(duì)蔡氏電路的深入研究和探索，發(fā)現(xiàn)蔡氏電路呈現(xiàn)出豐富的

2、混沌動(dòng)力學(xué)行為，蔡氏電路已在保密通信領(lǐng)域獲得了一定的應(yīng)用。蔡氏電路如圖1所示，它是一個(gè)三階自治電路，由兩個(gè)線性電容、一個(gè)線性電感、一個(gè)線性電阻和一個(gè)電壓控制型的非線性電阻元件構(gòu)成。非線性電阻的伏安特性如圖2所示。圖1蔡氏電路圖2壓控型非線性電阻伏安關(guān)系2基本分析對(duì)圖1所示蔡氏電路推導(dǎo)其狀態(tài)方程，分別以u(píng)C1,uC2和iL為變量列寫KCL和KVL方程，其方程組如下所示：4式中，iR=g(uR)。整理上述各式，且令uC1=x,uC2=y,iL=z，取電路中各參數(shù)的值為L(zhǎng)=7/100H,C1=1/9F,C2=1F,R0=1Ω,k0=-8/7,k1=-5/7。方程可變換為標(biāo)準(zhǔn)的

3、蔡氏方程，即為：其中，式中，a=9,b=100/7,m0=-1/7,m1=2/7。3計(jì)算機(jī)仿真蔡氏電路的三個(gè)狀態(tài)方程式在狀態(tài)空間的三個(gè)子空間為D1={(x,y,z)│x≥1}D0={(x,y,z)││x│≤1}D-1={(x,y,z)│x≤-1}在狀態(tài)空間的三個(gè)子空間內(nèi)分別具有唯一平衡點(diǎn)，平衡點(diǎn)如下：P+=(1.5,0,-1.5)∈D1Q=(0,0,0)∈D0P-=(-1.5,0,1.5)∈D-1對(duì)于平衡點(diǎn)P+和P-，兩個(gè)平衡點(diǎn)具有相同的狀態(tài)方程，其平衡點(diǎn)處的雅克比矩陣為：利用Matlab求解其相應(yīng)的特征根，可以得到方程在平衡點(diǎn)P+和P-處的特征值為一個(gè)實(shí)數(shù)值和一對(duì)共軛

4、復(fù)數(shù)值。其中一個(gè)實(shí)數(shù)值為：而一對(duì)共軛復(fù)數(shù)值為：4可見(jiàn)λP<0，而σP>0。對(duì)于平衡點(diǎn)Q，則有：在相應(yīng)的平衡點(diǎn)Q處的特性值也為一個(gè)實(shí)數(shù)值和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)值。其中實(shí)數(shù)值為：而一對(duì)共軛復(fù)數(shù)值為：可見(jiàn)λ0>0，而σ0<0。因此，所有的平衡點(diǎn)P+、Q、P-均為鞍焦點(diǎn)。取初始值為（0.025，-0.022，0.8），應(yīng)用Matlab進(jìn)行仿真，其相圖和時(shí)域波形圖如下所示，Matlab仿真程序見(jiàn)附錄。圖3蔡氏電路的各平面相圖以及時(shí)域波形4結(jié)論蔡氏電路所代表的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的確是混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)具有豐富的混沌動(dòng)力學(xué)行為。仿真結(jié)果驗(yàn)證了蔡氏電路在震蕩過(guò)程中出現(xiàn)雙渦卷混沌吸引子。奇怪吸引子宏

5、觀景象上，在平衡點(diǎn)附近分別形成空洞，呈現(xiàn)出雙渦卷混沌奇怪吸引子?？梢钥闯銎潆p渦卷混沌吸引子的相鄰軌線之間呈現(xiàn)出彼此排斥的趨勢(shì)，并以指數(shù)速率相互分離。雙渦卷混沌吸引子的軌線在特定的吸引域內(nèi)具有遍歷性和混合性。蔡氏電路正確地揭示了自然界的一種工程物理現(xiàn)象的非線性機(jī)理。由于非線性電路中混沌解的特殊性，分析研究混沌的方法主要有：（1）使用計(jì)算機(jī)對(duì)非線性電路進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，從得到的相圖和時(shí)域波形等來(lái)判別混沌特征的信息4；（2）對(duì)電路直接進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)中對(duì)混沌現(xiàn)象進(jìn)行觀察和分析。利用系統(tǒng)平衡點(diǎn)處的線性化矩陣，可以定性分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，以便尋找能使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的參數(shù)。參考文獻(xiàn)1.

6、劉崇新,非線性電路理論及應(yīng)用（M）,西安：西安交通大學(xué)出版社，2007.2.邱關(guān)源,電路（第5版）（M），高等教育出版社，2006.附：MATLAB仿真程序本Matlab仿真程序由一個(gè)主文件和兩個(gè)函數(shù)文件構(gòu)成，主文件內(nèi)的程序如下：options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-41e-41e-4]);[t,x]=ode45(@mysolve,[0100],[0.025-0.0220.8],options);subplot(2,3,1);plot(x(:,1),x(:,2));title('x-y平面相圖');subplot(2,3,2

7、);plot(x(:,1),x(:,3));title('x-z平面相圖');subplot(2,3,3);plot(x(:,2),x(:,3));title('y-z平面相圖');subplot(2,3,4);plot(t,x(:,1));title('x時(shí)域波形');subplot(2,3,5);plot(t,x(:,2));title('y時(shí)域波形');subplot(2,3,6);plot(t,x(:,3));title('z時(shí)域波形');兩個(gè)函數(shù)文件內(nèi)的程序如下：functiondx=mysolve(t,x)a=9;b=100/