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《“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分.以下每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里.不填、多填或錯(cuò)填得零分）1．方程組的解的個(gè)數(shù)為（）．（A）1（B）2（C）3（D）4答：（A）．解：若≥0，則于是，顯然不可能．若，則于是，解得，進(jìn)而求得．所以，原方程組的解為只有1個(gè)解．故選（A）．2．口袋中有20個(gè)球，其中白球9個(gè)，紅球5個(gè)，黑球6個(gè)．現(xiàn)從中任取10個(gè)球，使得白球不少于2個(gè)但不多于8個(gè)，紅球不少于2個(gè)，黑球不
2、多于3個(gè)，那么上述取法的種數(shù)是（）．（A）14（B）16（C）18（D）20答：（B）．解：用枚舉法：紅球個(gè)數(shù)白球個(gè)數(shù)黑球個(gè)數(shù)種數(shù)52，3，4，53，2，1，0443，4，5，63，2，1，0434，5，6，73，2，1，0425，6，7，83，2，1，04所以，共16種．故選（B）．3．已知△為銳角三角形，⊙經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，且與邊AB，AC分別相交于點(diǎn)D，E．若⊙的半徑與△的外接圓的半徑相等，則⊙一定經(jīng)過(guò)△11的（）．（A）內(nèi)心（B）外心（C）重心（D）垂心答：（B）．解：如圖，連接BE，因?yàn)椤鳛殇J角三角形，所以，均為銳角．又因?yàn)椤训陌霃脚c△的外接圓的半徑相等，且為兩圓的公共弦
3、，所以．于是，．（第3題答案圖）若△的外心為，則，所以，⊙一定過(guò)△的外心．故選（B）．4．已知三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，，恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則的值為（）．（A）0（B）1（C）2（D）3答：（D）．解：設(shè)是它們的一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則，，．把上面三個(gè)式子相加，并整理得．因?yàn)?，所以．于是．故選（D）．5．方程的整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)是（）．（A）0（B）1（C）3（D）無(wú)窮多答：（A）．11解：原方程可化為，因?yàn)槿齻€(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù)，所以上式左邊是3的倍數(shù)，而右邊除以3余2，這是不可能的．所以，原方程無(wú)整數(shù)解．故選(A).二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6．如
4、圖，在直角三角形ABC中，，CA＝4．點(diǎn)P是半圓弧AC的中點(diǎn)，連接BP，線段BP把圖形APCB分成兩部分，則這兩部分面積之差的絕對(duì)值是．答：4．解：如圖，設(shè)AC與BP相交于點(diǎn)D，點(diǎn)D關(guān)于圓心O的對(duì)稱點(diǎn)記為點(diǎn)E，線段BP把圖形APCB分成兩部分，這兩部分面積之差的絕對(duì)值是△BEP的面積，即△BOP面積的兩倍．而（第6題答案圖）．因此，這兩部分面積之差的絕對(duì)值是4．7．如圖,點(diǎn)A，C都在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B，D都在軸上，且使得△OAB，△BCD都是等邊三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．答：（，0）．（第7題答案圖）解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，C作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．設(shè)OE＝a，BF＝b，則
5、AE＝，CF＝，所以，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)為（，），（2＋b，），所以解得因此，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）．118．已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0）．若二次函數(shù)的圖象與線段AB恰有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是．答：≤，或者．解：分兩種情況：（Ⅰ）因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），所以，得．由，得，此時(shí)，，符合題意；由，得，此時(shí)，，不符合題意．（Ⅱ）令，由判別式，得．當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意．綜上所述，的取值范圍是≤，或者．9．如圖，，則n＝．答：6．解：如圖，設(shè)AF與BG相交于點(diǎn)Q，則，于是（第9題答案圖）．所以，n
6、＝6．10．已知對(duì)于任意正整數(shù)n，都有，則．11答：．解：當(dāng)≥2時(shí)，有，，兩式相減，得，所以因此．三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11（A）．已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，－1），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）判斷以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線PM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接NP，NQ，求證：．解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則PM＝;又因?yàn)辄c(diǎn)P到直線的距離為，所以，以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的圓與直線相切．…………5分（第11A題答案圖）（2）如圖，分別過(guò)點(diǎn)P，Q作直線的垂線，垂足分別為H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可
7、得，QM＝QR．11因?yàn)镻H，MN，QR都垂直于直線，所以，PH∥MN∥QR，于是，所以，因此，Rt△∽R(shí)t△．于是，從而．…………15分12（A）．已知a，b都是正整數(shù)，試問(wèn)關(guān)于x的方程是否有兩個(gè)整數(shù)解？如果有，請(qǐng)把它們求出來(lái)；如果沒(méi)有，請(qǐng)給出證明.解：不妨設(shè)≤b，且方程的兩個(gè)整數(shù)根為(≤)，則有所以，.…………5分因?yàn)?b都是正整數(shù)，所以x1，x2均是正整數(shù)，于是，≥0,≥0，≥1,≥1，所以或（1）當(dāng)時(shí)，由于a,b都是正整數(shù)，且≤b，可得a＝1，b＝3，此時(shí)，一元二次方程為，它的兩個(gè)根
