數(shù)學(xué)物理方程陳才生主編課后習(xí)題答案1-3章

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1、第1章緒論1.1基本內(nèi)容提要1.1.1用數(shù)學(xué)物理方程研究物理問題的步驟(1)導(dǎo)出或者寫出定解問題,它包括方程和定解條件兩部分;(2)求解已經(jīng)導(dǎo)出或者寫出的定解問題;(3)對求得的解討論其適定性并且作適當(dāng)?shù)奈锢斫忉?1.1.2求解數(shù)學(xué)物理方程的方法常見方法有行波法(又稱D'Alembert解法)、分離變量法、積分變換法、Green函數(shù)法、能量積分方法、變分方法等.本書主要使用前面五種方法.1.1.3數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出1.建立(導(dǎo)出)方程的步驟(1)從所研究的系統(tǒng)中劃出一部分,分析鄰近部分與這一小部分的相互作用；(2)根據(jù)物理學(xué)的規(guī)律,比如Newton第二定律、能量守恒

2、定律等,以數(shù)學(xué)式子表達(dá)這個作用；(3)化簡整理即得所研究問題的偏微分方程.2.建立(導(dǎo)出)方程時常用到的物理學(xué)定律(1)Newton第二定律(F=ma).(2)Fourier實(shí)驗(yàn)定律(即熱傳導(dǎo)定律).當(dāng)物體內(nèi)存在溫差時,會產(chǎn)生熱量的流動.熱流強(qiáng)度q(即單位時間內(nèi)流過單位橫截面的熱量)與溫度的下降率成正比,即q=?kru;其中k為熱傳導(dǎo)系數(shù),負(fù)號表示熱量的流向和溫度梯度方向相反.寫成分量的形式qx=?kux;qy=?kuy;qz=?kuz:(3)Newton冷卻定律.ˉ物體冷卻時放出的熱量?kru與物體和外界的溫度差uˉ?u0成正比,其邊中u0為周圍介質(zhì)的溫度.￠2￠

3、第1章緒論(4)熱量(質(zhì)量)守恒定律.物體內(nèi)部溫度升高所需要的熱量(濃度增加所需要的質(zhì)量)等于流入物體內(nèi)部的凈流熱量(質(zhì)量)與物體內(nèi)部的源所產(chǎn)生的熱量(質(zhì)量)之和.(5)費(fèi)克(Fick)定律(即擴(kuò)散定律).一般地說,由于濃度的不均勻,物質(zhì)從濃度高的地方向濃度低的地方轉(zhuǎn)移.這種現(xiàn)象叫擴(kuò)散.在氣體、液體、固體中都有擴(kuò)散現(xiàn)象.粒子流強(qiáng)度q(即單位時間內(nèi)流過單位面積的粒子數(shù))與濃度的下降率成正比.即q=?Kru;其中K為擴(kuò)散系數(shù),負(fù)號表示濃度減少的方向.寫成分量的形式為qx=?Kux;qy=?Kuy;qz=?Kuz:(6)Gauss定律.通過一個任意閉合曲面的電通量,等于這

4、個閉曲面所包圍的自由電荷的電量的"?1倍,即ZZ1E￠dS=?d?;@?"?其中"為介電常數(shù),?為電荷密度.(7)胡克(Hooke)定律.在彈性限度內(nèi),彈性體的彈力和彈性體的形變量成正比,即f=?kx,其中k為彈性體的勁度(倔強(qiáng))系數(shù),倔強(qiáng)系數(shù)在數(shù)值上等于彈性伸長(或縮短)單位長度時的彈力,負(fù)號表示彈力的方向和形變量的方向相反.另外,有應(yīng)力=楊氏模量￡相對伸長:3.定解條件和定解問題的寫出(導(dǎo)出)要想將一個具體的物理過程完整地翻譯成數(shù)學(xué)語言,必須寫出它的定解問題：包括泛定方程和定解條件(初始條件、邊界條件、相容性條件).泛定方程只能反映和描繪同一類現(xiàn)象的共同規(guī)律.對

5、于一個具體的物理問題,還必須通過定解條件來反映.而要正確寫出定解條件,必須注意以下幾方面的問題：(1)正確理解題意,正確區(qū)分外源條件、初始條件、邊界條件；(2)正確理解并且應(yīng)用物理定律和定理；(3)注意初始條件和邊界條件的個數(shù),以保證解的適定性.1.1.4定解問題的適定性如果一個定解問題的解存在、唯一,且連續(xù)依賴于定解條件中的初始數(shù)據(jù)或者1.2習(xí)題解答￠3￠邊界數(shù)據(jù),則稱該定解問題是適定的,否則稱它是不適定的.1.2習(xí)題解答1.1長為L的均勻細(xì)桿,側(cè)面絕緣,一端溫度為0,另一端有恒定熱源q進(jìn)入(即單1位時間內(nèi)通過單位截面積流入的熱量),桿的初始溫度分布為x(L?x)

6、,試寫出相2應(yīng)的定解問題.1解桿的初始溫度分布是x(L?x),即初始條件為21u(x;0)=x(L?x):2由桿的一端溫度為零,得邊界條件u(0;t)=0;桿的另一端有恒定熱流強(qiáng)度q,即kux(L;t)=q:故定解問題為8>>u=a2u;00;>>txx><1u(x;0)=x(L?x);06x6L;>>2>>>:qu(0;t)=0;ux(L;t)=;t>0:k1.2設(shè)有一長為L的均勻柔軟的弦做微小橫振動,其平衡位置是x軸的區(qū)間[0;L].讓u表示橫位移,弦的線密度為?,張力大小為T.在振動過程中,受到一阻力,阻力的大小與位移速度成正比,比例系數(shù)為k.設(shè)

7、初始位移為á(x),初始速度為0.在x=0端固定,在x=L端有一彈性支撐,彈性強(qiáng)度為k.試寫出弦的位移u(x;t)所滿足的定解問題.解在x=L端有一彈性支撐,彈性強(qiáng)度為k,這表明ˉˉTuxˉ=?kuˉ;x=Lx=L即ˉ(Tux+ku)ˉ=0:x=L又因?yàn)樵谡駝舆^程中,受到一阻力,阻力的大小與位移速度成正比,比例系數(shù)為k,所以阻力F(x;t)=?kut,那么由參考文獻(xiàn)[1]中例1.2.1的推導(dǎo)可以得到該弦做微小橫振動的方程為￠4￠第1章緒論Tkutt=uxx?ut:??因此,所求的定解問題是8>>Tk>>utt=uxx?ut;00;