用有限元法分析異步電動機

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1、用有限元法分析異步電動機第11、引言電氣工把分布參數(shù)系統(tǒng)問題歸結為集中參數(shù)系統(tǒng)問題求解，是屢見不鮮的。有限元數(shù)值解法，就是這種相同的思考方法。但是，有限元問世后，在電工行業(yè)中卻遠不及力學領域等應用得充分。有限元法的特點是適用于求解各種形式（幾何上、物理上）復雜的問題，精度高，通用性強，對問題的處理既徹底又系統(tǒng)，適用于采用電子計算機方式。它本是線性問題的解法，但通過迭代法（如牛頓-拉裴森迭代法）也能巧妙地解決非線性問題。用來求解電磁場問題遠較電工行業(yè)中常用的圖解法、電解槽法等優(yōu)越。因此，隨著科學技術的發(fā)展，各類超高壓、大容量、高精度的電工產(chǎn)品的

2、研制，其磁場等的精確計算直接關系到該產(chǎn)品的優(yōu)異性能和技術經(jīng)濟指標。有限元法這一有力工具，在電工行業(yè)中，在電磁研究領域里，越來越有廣泛的應用。用有限元法對異步電動機性能進行分析的方法，在實際電機產(chǎn)品中得到驗證。在磁場中向量場函數(shù)B的旋度：(1)通常用向量位A來描述，即(2)則磁場的基本方程(3)式中B——磁感應強度μ——介質(zhì)常數(shù)J——電流密度從電機中截出橫斷面，在這里的磁場可視為平行平面場。設選定坐標使B和A在Z軸方向的分量為零，向量磁位A、電流密度向量J只有Z軸方向的分量，令磁阻率，于是方程（3）化為二維形式。(4)電機定、轉子為硅鋼片迭成，

3、由于鐵磁物質(zhì)受飽和影響，磁化特性非線性,如圖1示，磁阻是磁場強度H的函數(shù)，所以方程（4）是一個偏微分方程，直接求解這樣的非線性偏微分方程是比較困難的，使用數(shù)值計算法——有限元法，可得到較高精度的解。圖1DG41(厚度0.35mm)硅鋼片磁化曲線2、有限元法有限元法的基本原理是以變分原理和剖分插值為基礎的一種數(shù)值計算方法，把所要求的電磁場問題即偏微分方程的邊值問題化為與之等價的變分問題即所謂泛函數(shù)的極值問題。從而得到一個高階非線性方程組。最后求解方程組，即得待求的電磁場問題的近似解。為了用有限元法解方程（3），首先必須確定一個恰當?shù)姆汉?。根?jù)微

4、積分中函數(shù)的極值原理，可以證明（證明從略）泛函。（5）與式（4）等價，即上述偏微分方程的定解問題等價為條件變分問題。條件變分問題與其等價的偏微分方程邊值問題比較，在邊界問題上要簡便得多，且在這樣的基礎上才能進行剖分插值。根據(jù)電機的結構，轉子位置不同時磁場的分布情況不一樣，我們盡量利用結構磁場的對稱性，縮小其求解區(qū)域。將確定的求解區(qū)域，剖分成有限個三角形單元，剖分時，不同介質(zhì)的交換面必須是三角形單元的邊，關鍵部分剖分密度大一些，避免出現(xiàn)太尖太鈍三角元，以保證計算的精度。2.1剖分插值將問題區(qū)域剖分成若干三角形單元，其頂點為i,j,m,假設位函數(shù)

5、用式(6)來近似：A(x,y)=a+bx+cy(6)式中的系數(shù)a,b,c可由3個聯(lián)立的獨立方程來確定。假定位函數(shù)值為頂點值Ai,Aj,Am,將3個頂點的位值Ai,Aj,Am及其坐標（x1,y1）,（x2,y2），（x3,y3）代入式（6），求解聯(lián)立方程，得系數(shù)a,b,c，并將結果代入式（6），就得到將x,y和逆系數(shù)矩陣的元素組合為新的位置函數(shù)，則可寫成(7)式中它僅是位置的線性函數(shù)，而Δ代表三角形的面積?？赏ㄟ^下標的循環(huán)置換而獲得，可以證明式（7）是三角形三個頂點的內(nèi)插函數(shù)。2.2有限元的求極小值泛函式（5）在非線性情況下的離散，基本上按照線

6、性問題所采用的同樣方法進行。假定問題的求解域D離散成一組互不重疊的有限單元，并著重考慮一個單元，在單個單元內(nèi)，磁位A可用式（7）表示，借助于這一代換，ARGIN-TOP:0px;MARGIN-BOTTOM:0px;LINE-HEIGHT:17pt"align=center>(8)式中E0——求解區(qū)域剖分的總單元數(shù)L0——求解區(qū)域剖分的總節(jié)點數(shù)即式中(9)將式（9）代入式（8）且將代入，則方程（8）變成短陣形式：SA=J（10）式中A——節(jié)點磁位值向量J——電流密度列向量，各項為S——單元系數(shù)矩陣，包含下列各項磁阻率υ是A值的函數(shù)，而且還與

7、磁場相關。由于鐵磁材料的飽和，故方程（8）是非線性方程組，對于空氣介質(zhì)中的單元，則按其材料及所在頻率下的磁化曲線計算磁阻率。為了適用電子計算機計算，進行分段插值，實測的磁化曲線，如圖1示。從曲線拐彎處開始取曲線上25個節(jié)點Bi和對應的函數(shù)Hi(i=1,2,…,25),由B和H構成拉格朗日多項式。從而得2.3求解非線性方程組的牛頓迭代法設A為所求的準確解，A(k)表示一個不準確但卻是適當接近A的估計值。A(k)=A-ΔA(k)(11)將ARGIN-TOP:0px;MARGIN-BOTTOM:0px;LINE-HEIGHT:17pt"align=

8、center>（12）若略去泰勒級數(shù)中超過第二項的各項則方程（12）就提供了計算A(k)對A的偏差的方法ΔA=-P-1V(13)式中，P點牛頓迭代的雅可比矩陣，其元