學(xué)建模課程設(shè)計(jì)(血樣的分組檢驗(yàn))

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1、數(shù)學(xué)建模血樣的分組檢驗(yàn)摘要:本文以醫(yī)學(xué)的調(diào)查統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，進(jìn)行抽象，利用概率論知識(shí)組建模型，對(duì)何時(shí)分組和怎樣分組給出了詳盡的討論并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了符合實(shí)際情況的解釋，結(jié)合真實(shí)的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，最后對(duì)模型加以改進(jìn)和推廣。1．問(wèn)題描述要在人群中（數(shù)量很大，基本上是健康人）找出某種病毒的感染者，為減少檢驗(yàn)次數(shù)（目的是降低費(fèi)用），通常采用篩選的辦法。即假設(shè)人群總數(shù)為，將人群分成組，每組的人數(shù)為，將每組的份血樣混在一起進(jìn)行化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，則需要對(duì)改組的每個(gè)人重新進(jìn)行化驗(yàn)，以確定誰(shuí)是病毒感染者；若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則表明該組全體成員均為陰性，不需要

2、重新化驗(yàn)。（1）已知陽(yáng)性的先驗(yàn)概率為，當(dāng)固定時(shí)，如何分組可使得化驗(yàn)次數(shù)最??；（2）找出不應(yīng)分組的的取值范圍；（3）討論兩次分組的情況，即檢測(cè)為陽(yáng)性的組再次分組檢驗(yàn)的情況。2．問(wèn)題的分析本問(wèn)題所述的情況在醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)、病毒檢測(cè)等諸多醫(yī)學(xué)問(wèn)題中是必須首要解決的問(wèn)題。進(jìn)行某種疾病的調(diào)查需要大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的取得主要靠實(shí)驗(yàn)的方法，這就不可避免地要面臨如何分組的問(wèn)題是效率最高（花銷最少），找出最優(yōu)分組方法是本文的主要目的。由于人群總體數(shù)固定，在討論問(wèn)題時(shí)，我們可以借助于平均每人檢驗(yàn)次數(shù)這個(gè)量來(lái)衡量分組與不分組情況的好壞，這是概率模型的主要思路。對(duì)

3、于該問(wèn)題，若不分組，一個(gè)人一個(gè)人檢驗(yàn)，共需檢驗(yàn)次，平均每個(gè)人檢驗(yàn)一次；采取分組的方法，直觀上可以感覺(jué)到會(huì)降低檢驗(yàn)次數(shù)。分組時(shí)計(jì)算每個(gè)人的平均檢驗(yàn)次數(shù)，若該值小于1，即認(rèn)為分組比不分組好。對(duì)于兩次分組的問(wèn)題，也采用上述思路，只要兩次分組時(shí)平均每個(gè)人檢驗(yàn)次數(shù)小于一次分組時(shí)平均每個(gè)人的檢驗(yàn)次數(shù)，就可以認(rèn)為兩次分組的方法優(yōu)于一次分組的方法。3．模型假設(shè)下面給出該模型的基本假設(shè)：（1）在實(shí)際操作中，多次分組的方法要比只分一次組或不分組的方法操作起來(lái)繁瑣、耗時(shí)，且需要更多的人力把工作的重點(diǎn)放在分組的方案上，實(shí)際增加了開(kāi)支。所以若在人數(shù)不太多，且兩種方法平

4、均每人檢驗(yàn)次數(shù)相近，宏觀上解釋就是當(dāng)不分組或不繼續(xù)分組比分組或繼續(xù)分組的次數(shù)少或二者差距不大時(shí)，使用少分組的方法效率更高、費(fèi)用更省。本題由于敘述了人數(shù)很大的條件，故哪種方法平均每人檢驗(yàn)次數(shù)少，就采用那種方法；（2）可以理解先驗(yàn)概率為對(duì)某個(gè)人檢驗(yàn)一次，結(jié)果呈陽(yáng)性的概率，并假設(shè)先驗(yàn)概率在一次檢驗(yàn)中保持不變（即假設(shè)該概率只與疾病有關(guān)，而對(duì)同一種疾病該值為常量）；（3）每個(gè)人檢驗(yàn)一次是陽(yáng)性的概率相互獨(dú)立（即不考慮是否有遺傳性與病毒的傳染）；（4）為了簡(jiǎn)化模型便于討論分析，假設(shè)每次分組時(shí)都能達(dá)到平均分配，而且在進(jìn)行再次分組時(shí)采用的對(duì)呈陽(yáng)性的組進(jìn)行組內(nèi)分

5、組的形式。這在實(shí)際中是普遍采用的一種方法，它比把呈陽(yáng)性的組的人重新打亂再進(jìn)行分組的效率高出很多而且易被人接受。如果設(shè)分別表示第一、二次分組時(shí)分出的組數(shù)，分別表示第一、二次分組每組的人數(shù)，則第一次分組總?cè)藬?shù)，第二次分組的總?cè)藬?shù)。可以通過(guò)調(diào)整的值實(shí)現(xiàn)最優(yōu)分組方案。7數(shù)學(xué)建模1．模型的建立及求解4.1一次分組的情況利用概率中的數(shù)學(xué)期望來(lái)計(jì)算平均每人的檢驗(yàn)次數(shù)。在一次分組的情況下，如上所示變量假設(shè)，每組的人數(shù)為（由假設(shè)（4），）；陽(yáng)性的先驗(yàn)概率為；另設(shè)變量表示每人的平均檢驗(yàn)次數(shù)；，即為每個(gè)人檢驗(yàn)一次呈陰性的概率。因此，如果一組檢驗(yàn)為陰性，則其中每個(gè)人

6、均不是病毒的感染者，在由每個(gè)人是否是感染者是相互獨(dú)立的（假設(shè)（3）），可得出現(xiàn)此種情況的概率為，每個(gè)人平均檢驗(yàn)次數(shù)為次（該組只檢驗(yàn)了一次）；如果一組檢驗(yàn)為陽(yáng)性，該組中有病毒感染者，仍由假設(shè)（3），可知出現(xiàn)此種情況的概率為，每個(gè)人的平均檢驗(yàn)次數(shù)為次（該組每個(gè)人又被一一檢驗(yàn)，故次數(shù)加一）。故可得的分布律為由上表可得，所以對(duì)于個(gè)人平均檢驗(yàn)次數(shù)為次。所以由假設(shè)（1）可得，只要，即分組后平均每人檢驗(yàn)次數(shù)小于不分組每個(gè)人檢驗(yàn)的次數(shù)（1次），就進(jìn)行分組檢驗(yàn)。由，可得以下約束條件：（后稱第一次分組的約束條件）此時(shí)對(duì)于不同疾病，不同，調(diào)整滿足上式，即可認(rèn)為分一

7、次組比不分組好。下面進(jìn)行更深層次的討論：由于本題的人數(shù)是離散變量，故無(wú)法直接采用數(shù)學(xué)分析的方法，所以先把離散變量連續(xù)化。采用與離散變量變化趨勢(shì)相同的連續(xù)性函數(shù)，即設(shè)，A．因?yàn)?，根?jù)上述條件及假設(shè)，對(duì)求導(dǎo)得，7數(shù)學(xué)建模由此可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少，而時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加，在時(shí)取得最大值。做出函數(shù)的圖像，見(jiàn)下圖：對(duì)于本題所討論的離散值，從上圖可知在時(shí)，取得滿足條件時(shí)的最大值，也就是只有在時(shí)，調(diào)整的值總能滿足上述約束條件。即此時(shí)分一次組才比不分組每人平均檢驗(yàn)次數(shù)少。而對(duì)于大于此值的，不滿足約束條件，故不分組比分一次組平均每人檢驗(yàn)次數(shù)少。A．對(duì)函數(shù)求

8、導(dǎo)可得，由函數(shù)取極值的必要條件得，如果對(duì)于給定的（當(dāng)然必須滿足約束條件）值，可以通過(guò)數(shù)值解法求得使最小的值。（可以證明此值為函數(shù)在本題所給范圍內(nèi)的最小值）由于本題變