一輪復(fù)習(xí)配套義：第4篇第1講平面向量的概念及其線性運(yùn)算

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1、第1講　平面向量的概念及其線性運(yùn)算[最新考綱]1．了解向量的實(shí)際背景．2．理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義．3．理解向量的幾何表示．4．掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義．5．掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義．6．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.知識(shí)梳理1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)

2、算向量運(yùn)算定　義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)平行四邊形法則續(xù)表減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λ

9、a.辨析感悟1．對(duì)共線向量的理解(1)若向量a，b共線，則向量a，b的方向相同．(×)(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.(×)(3)(2013·鄭州調(diào)研改編)設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與2a－b共線，則λ＝－.(√)(4)(2013·陜西卷改編)設(shè)a，b為向量，則“

10、a·b

11、＝

12、a

13、·

14、b

15、”是“a∥b”的充分必要條件．(√)2．對(duì)向量線性運(yùn)算的應(yīng)用(5)＋＋＝.(√)(6)(教材習(xí)題改編)在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則＝(＋)．(√)學(xué)生用書第69頁[感悟·提升]1．一個(gè)區(qū)別　兩個(gè)向量共線與兩條線段共線不同，前者的起點(diǎn)可以不同，而后

16、者必須在同一直線上．同樣，兩個(gè)平行向量與兩條平行直線也是不同的，因?yàn)閮蓚€(gè)平行向量可以移到同一直線上．2．兩個(gè)防范　一是兩個(gè)向量共線，則它們的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).考點(diǎn)一　平面向量的有關(guān)概念【例1】給出下列命題：①若

17、a

18、＝

19、b

20、，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是

21、a

22、＝

23、b

24、且a∥b.其中真命題的序號(hào)是________．解析　①不正確．兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵＝，∴

25、

26、＝

27、

28、且∥，

29、又∵A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且

30、

31、＝

32、

33、，因此，＝.③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使

34、a

35、＝

36、b

37、，也不能得到a＝b，故

38、a

39、＝

40、b

41、且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.答案　②③規(guī)律方法對(duì)于向量的概念應(yīng)注意以下幾條：(1)向量的兩個(gè)特征：有大小和方向，向量既可以用有向線段和字母表示，也可以用坐標(biāo)表示；

42、(2)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量；(3)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大?。居?xùn)練1】設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝

43、a

44、a0；②若a與a0平行，則a＝

45、a

46、a0；③若a與a0平行且

47、a

48、＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是(　　)．A．0B．1C．2D．3解析　向量是既有大小又有方向的量，a與

49、a

50、a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)

51、a＝－

52、a

53、a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.答案　D考點(diǎn)二　平面向量的線性運(yùn)算例2】如圖，在平行四邊形OADB中，設(shè)＝a，＝b，B＝，＝.試用a，b表示，及.解　由題意知，在平行四邊形OADB中，＝B＝＝(－)＝(a－b)＝a－b，則＝＋＝b＋a－b＝a＋b.＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.規(guī)律方法(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)

54、式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用．【訓(xùn)