微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值方法

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1、微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值方法本部分內(nèi)容只介紹二階常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的的打靶法和差分法。二階常微分方程為(1.1)當(dāng)關(guān)于為線性時(shí)，即，此時(shí)變成線性微分方程(1.2)對(duì)于方程或，其邊界條件有以下3類：第一類邊界條件為(1.3)當(dāng)或者時(shí)稱為齊次的，否則稱為非齊次的。第二類邊界條件為(1.4)當(dāng)或者時(shí)稱為齊次的，否則稱為非齊次的。第三類邊界條件為(1.5)其中，當(dāng)或者稱為齊次的，否則稱為非齊次的。微分方程或者附加上第一類，第二類，第三類邊界條件，分別稱為第一，第二，第三邊值問(wèn)題。1打靶法介紹下面以非線性方程的第一類邊值問(wèn)題

2、、為例討論打靶法，其基本原理是將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的初值問(wèn)題求解?！驹怼考俣?，這里為解在處的斜率，于是初值問(wèn)題為(1.6)令，上述二階方程轉(zhuǎn)化為一階方程組(1.7)原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求合適的，使上述初值問(wèn)題的解在的值滿足右端邊界條件(1.8)這樣初值問(wèn)題的解就是邊值問(wèn)題、的解。而對(duì)給定的，求的初值問(wèn)題可以用歐拉方法、龍格-庫(kù)塔方法等初值問(wèn)題的數(shù)值解法求解。理論上是隱含的連續(xù)函數(shù)，如果已知，要使得成立，可以通過(guò)求非線性方程的零點(diǎn)來(lái)得到合適的，這可用任何方程求根的方法，例如牛頓法、或者其它迭代法。實(shí)際上，是很難找到的，因此必

3、須尋找滿意的離散解數(shù)值解。下面敘述打靶法的計(jì)算過(guò)程：（這里為允許誤差，的修改使用線性插值方法）Step1：先設(shè)，求解初值問(wèn)題，得到；若，則為問(wèn)題的滿意的離散解，結(jié)束；Step2：若時(shí)，令，求解初值問(wèn)題，得到；若，則為問(wèn)題的滿意的離散解，結(jié)束；否則轉(zhuǎn)Step3；Step3：由線性插值得到一般計(jì)算公式(1.9)Step4：令，求解初值問(wèn)題，得到；若，則為問(wèn)題的滿意的離散解，結(jié)束；否則轉(zhuǎn)Step3。這個(gè)過(guò)程好比打靶，為子彈發(fā)射率，為靶心，當(dāng)時(shí)則得到解，故稱打靶法。【例1】用打靶法求解非線性兩點(diǎn)邊值問(wèn)題要求誤差。精確解為?！?/p>

4、解】：首先將原問(wèn)題化成初值問(wèn)題對(duì)每個(gè)，使用4階RK方法求解上述問(wèn)題，即利用公式其中，計(jì)算，取步長(zhǎng)為h=0.02。Step1選擇，求得，；Step2選擇，求得，；Step3根據(jù)以及和，利用公式，計(jì)算得到Step4對(duì)，利用RK方法求解，計(jì)算得到，，轉(zhuǎn)Step3。重復(fù)Step3和Step4，可求得；，滿足要求，此時(shí)解即為所求。對(duì)于第二類、第三類邊值問(wèn)題也可以作類似處理。例如，對(duì)第二類邊值問(wèn)題，它可以轉(zhuǎn)化為以下邊值問(wèn)題解此初值問(wèn)題得到及，若，則為邊值問(wèn)題的解。2差分方法介紹差分方法是解邊值問(wèn)題的一種基本方法，它利用差商代替導(dǎo)

5、數(shù)，將微分方程離散化為非線性或線性方程組（即差分方程）求解。下面考慮邊值問(wèn)題(2.1)將[a,b]作N+1等分，分點(diǎn)為，若在[a,b]內(nèi)點(diǎn)用差商近似導(dǎo)數(shù)，由忽略余項(xiàng)，并令，則離散化得到差分方程(2.2)利用差分方程逼近邊值問(wèn)題，其截?cái)嗾`差階為，為了得到更精確的逼近可利用泰勒展開(kāi)。設(shè)中的微分方程改用以下差分格式逼近，即(2.3)其中為待定參數(shù)，記在處按泰勒公式展開(kāi)到，按冪次整理得若令，解得且(2.4)將以上結(jié)果代入，則得到的差分方程(2.5)它的截?cái)嗾`差由得到，逼近階為。無(wú)論用哪種方法建立差分方程都要討論差分方程的可解

6、性及解法，并且證明差分方程解當(dāng)時(shí)。下面以差分方程為例討論它的可解性及解法。將改寫(xiě)成下面的形式(2.6)其中，，，當(dāng)關(guān)于非線性，則非線性，故是一個(gè)非線性方程組。它可以利用牛頓法或者其它迭代法求解，并有如下結(jié)論：【定理1】對(duì)于邊值問(wèn)題，設(shè)在域中連續(xù)，且在D中，則非線性方程組存在唯一解，可用牛頓迭代法(2.7)求解，并有。在上述定理的條件下，還可以得到差分方程解的收斂性，即。對(duì)于邊值問(wèn)題、，可以類似地得到相應(yīng)的差分方程(2.8)并有如下結(jié)論：【定理2】對(duì)于第一類邊值問(wèn)題、中，函數(shù)在域中連續(xù)且在D中，則邊值問(wèn)題、有唯一解，在

7、要求，則有唯一解。解非線性方程組仍可用牛頓法。下面再考查線性邊值問(wèn)題、，類似可以得到線性差分方程(2.9)其中，重新改寫(xiě)得到將第2式代入第1式并寫(xiě)成矩陣形式，得線性方程組(2.10)其中，。該方程組為一個(gè)三對(duì)角的線性方程組，可用追趕法求解。對(duì)第二類、第三類邊值問(wèn)題，可以類似地將相應(yīng)的邊界條件及離散化，分別得到它們的差分近似(2.11)以及(2.12)將它們分別代替中的邊界條件，則可得相應(yīng)的關(guān)于的N+2個(gè)方程的線性方程組?！径ɡ?】設(shè)在[a,b]上，，則當(dāng)時(shí)，方程組存在唯一解。【定理4】設(shè)在[a，b]上，邊值問(wèn)題、的解

8、為，。的解為，則。定理說(shuō)明，若固定，當(dāng)時(shí)差分方程的解收斂到微分方程邊值問(wèn)題的解?！纠?】用差分法求解線性邊值問(wèn)題注：該問(wèn)題的精確解為【解】：若取，這里，可按列出三對(duì)角的線性差分，然后用追趕法求解。資料來(lái)源：數(shù)值計(jì)算原理，李慶揚(yáng)，清華大學(xué)出版社,2003