數(shù)列求通項(xiàng)及求和專項(xiàng)講義(杰中杰教育)

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1、杰中杰教育數(shù)列綜合題型方法訓(xùn)練數(shù)列綜合題型方法訓(xùn)練（適用基礎(chǔ)較好學(xué)員使用）第一部分綜合基礎(chǔ)題型方法一、求數(shù)列通項(xiàng)：求數(shù)列通項(xiàng)常用的有公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、迭代法以及換元法等.1公式法：公式法即運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系()或等差、等比數(shù)列公式求通項(xiàng)，注意驗(yàn)證.例1已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，求數(shù)列的通項(xiàng).解析：此題已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式，且既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，用公式求通項(xiàng)由題意，所以數(shù)列的通項(xiàng)為（）練習(xí)1數(shù)列的前項(xiàng)和，，求數(shù)列的通項(xiàng).練習(xí)2數(shù)列的前項(xiàng)和，，求數(shù)列的通項(xiàng).練習(xí)3數(shù)列的前項(xiàng)和，，求數(shù)列的通項(xiàng).2累加法：對(duì)于的形式

2、，可以用累加法，注意驗(yàn)證.例2已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).解析：由于已知，將等式右邊左移，然后用累加法求得數(shù)列通項(xiàng)由題意得杰中杰專業(yè)數(shù)學(xué)教育培訓(xùn)數(shù)學(xué)王牌杰中杰教育數(shù)列綜合題型方法訓(xùn)練將上述等式左、右兩邊對(duì)應(yīng)相加得即式左邊是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列前項(xiàng)和，則求得，所以數(shù)列的通項(xiàng)為練習(xí)1已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).練習(xí)2已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).練習(xí)3已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).3累乘法：對(duì)于的形式，可以累乘法，注意驗(yàn)證.例3已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).解析：由題意得將上述式子等式兩邊對(duì)應(yīng)相乘得即所以數(shù)列的通項(xiàng)為（）練習(xí)1已知

3、數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).杰中杰專業(yè)數(shù)學(xué)教育培訓(xùn)數(shù)學(xué)王牌杰中杰教育數(shù)列綜合題型方法訓(xùn)練練習(xí)2已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).4待定系數(shù)法：對(duì)于的形式，構(gòu)造求得表達(dá)式中的系數(shù)值，然后另，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，求得的通項(xiàng)，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)，注意驗(yàn)證.例4.1已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).解析：由題意設(shè)（），即將代入式解得，則得到，故是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，則有，故數(shù)列的通項(xiàng)為例4.2已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).解析：由題意設(shè)（），即將代入式解得則有，故是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即有，故數(shù)列的通項(xiàng)為例4.3已知

4、數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).杰中杰專業(yè)數(shù)學(xué)教育培訓(xùn)數(shù)學(xué)王牌杰中杰教育數(shù)列綜合題型方法訓(xùn)練解析：由題意設(shè)（），即將代入式解得：得，故是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，則有，即，故數(shù)列的通項(xiàng)為練習(xí)1已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).練習(xí)2已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).練習(xí)3已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).練習(xí)4已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).（提示：當(dāng)時(shí)，可以將等式各項(xiàng)同時(shí)除以后再用待定系數(shù)法）5迭代法：對(duì)于及的形式，可以用迭代法求得數(shù)列的通項(xiàng)，注意驗(yàn)證.例5已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).解析：由題意可以用迭代法求解故（指數(shù)是一個(gè)以1為首項(xiàng)，末項(xiàng)為，公差

5、為2的等差數(shù)列求前項(xiàng)和）則，且，故數(shù)列的通項(xiàng)為（此題也可用累乘法）.練習(xí)1已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).杰中杰專業(yè)數(shù)學(xué)教育培訓(xùn)數(shù)學(xué)王牌杰中杰教育數(shù)列綜合題型方法訓(xùn)練練習(xí)2已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).練習(xí)3已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).小結(jié)：常用的幾個(gè)特殊處理類型：（1）對(duì)于形式，通?？梢詫⒄麄€(gè)式子各項(xiàng)同時(shí)除以然后可使用待定系數(shù)法構(gòu)造形式的等比數(shù)列求解；（2）對(duì)于的形式，可以將整個(gè)式子各項(xiàng)同時(shí)除以然后用待定系數(shù)法構(gòu)造形式的等比數(shù)列求解；（3）對(duì)于的形式，用將去掉以后再用其他方法求解；（4）對(duì)于的形式，可以用換得，然后用其他方法求解（換元法

6、）；（5）對(duì)于的形式，可以用等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后再用待定系數(shù)法構(gòu)造形式的等比數(shù)列求解；鞏固練習(xí)（1）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，求數(shù)列的通項(xiàng).（2）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).（3）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).（4）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).杰中杰專業(yè)數(shù)學(xué)教育培訓(xùn)數(shù)學(xué)王牌杰中杰教育數(shù)列綜合題型方法訓(xùn)練（5）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).（6）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).（7）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).（8）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).（9）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).（10）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).（11）已知數(shù)列滿足

7、，，求數(shù)列的通項(xiàng).（12）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).杰中杰專業(yè)數(shù)學(xué)教育培訓(xùn)數(shù)學(xué)王牌杰中杰教育數(shù)列綜合題型方法訓(xùn)練二、數(shù)列求和：常用的數(shù)列求和方法有用等比等差數(shù)列的公式及性質(zhì)求解、裂項(xiàng)相消求和、并項(xiàng)求和、分組求和、錯(cuò)位相減求和、倒序相加求和等.1公式性質(zhì)法：運(yùn)用等差、等比數(shù)列求和公式，等差、等比數(shù)列連續(xù)K項(xiàng)和之間關(guān)系以及等差等比數(shù)列奇偶項(xiàng)數(shù)關(guān)系等求解.例1.1已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，求.例1.2已知公差為等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，求.例1.3已知等比數(shù)列的公比為2，前項(xiàng)和為，，求.練習(xí)1已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，求.練習(xí)2已知等差數(shù)列公

8、差為2，前項(xiàng)和為，，，求數(shù)列的全部項(xiàng)數(shù)之和.2裂項(xiàng)相消：數(shù)列通項(xiàng)公式諸如、、及等形式，可以用將其裂項(xiàng)為、、及的方式來(lái)求和.例2.1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列前項(xiàng)和.例2.2已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列前項(xiàng)