集中量數(shù)(或趨中量數(shù))

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1、社會(huì)統(tǒng)計(jì)關(guān)秉寅第三章　　集中量數(shù)（或趨中量數(shù)）(MeasuresofCentralTendency)壹、本單元的目標(biāo)1、解釋集中量數(shù)的目的，並說(shuō)明此量數(shù)所傳達(dá)的訊息2、計(jì)算，說(shuō)明，及比較眾數(shù)（mode）、中位數(shù)（median）、以及平均數(shù)（mean）的差異3、說(shuō)明平均數(shù)的數(shù)學(xué)特性4、依照測(cè)量尺度及偏態(tài)（skew）來(lái)選擇適當(dāng)?shù)募辛繑?shù)貳、各種集中量數(shù)　　上個(gè)單元所介紹的次數(shù)分配及圖表等是用來(lái)描述資料的整體分配情況。本單元及下個(gè)單元?jiǎng)t介紹兩類的描述統(tǒng)計(jì)，以進(jìn)一步瞭解資料整體分配的細(xì)節(jié)。這兩類統(tǒng)計(jì)能告訴我們以下的資訊是：1、代表此分配之典型或平均狀

2、況的個(gè)案為何。與此有關(guān)的描述統(tǒng)計(jì)就是各種「集中量數(shù)」。2、此分配之變異或異質(zhì)性的狀況。與此有關(guān)的描述統(tǒng)計(jì)就是各種「離散量數(shù)」。所以，集中量數(shù)就是以一個(gè)數(shù)值來(lái)描述樣本資料中，那一個(gè)分?jǐn)?shù)或數(shù)值是最常見(jiàn)的、站在中間的位置、或最具代表性?！　　　∽畛Ｒ?jiàn)的集中量數(shù)有三種，即眾數(shù)(Mode)、中位數(shù)(Median)、和算術(shù)平均數(shù)(Mean)。這三種量數(shù)雖有共同的目的，但它們測(cè)量資料之集中趨勢(shì)（centraltendency）的作法卻不同，也傳達(dá)不同的訊息。因此，只有在特定的條件下，這三種量數(shù)的數(shù)值才會(huì)相同。到底用那一個(gè)集中量數(shù)和thelevelofmea

3、surement（測(cè)量尺度）以及研究之目的有關(guān)。集中量數(shù)之使用和測(cè)量尺度之關(guān)係：Nominal－ModeOrdinal－Mode、Median（也可用Mean，但解釋時(shí)要小心）Interval-Ratio－Mode、Median、Mean一、眾數(shù)(Mode)：是指資料中出現(xiàn)最多的數(shù)值。眾數(shù)適用於各種測(cè)量尺度。但當(dāng)變項(xiàng)為名目尺度時(shí)，這是唯一可用的集中量數(shù)。在名目尺度變項(xiàng)，或次數(shù)分配表中，眾數(shù)是指含件數(shù)或次數(shù)最多的類別。眾數(shù)雖是最簡(jiǎn)單之集中量數(shù)，但有缺點(diǎn)：　1社會(huì)統(tǒng)計(jì)關(guān)秉寅、有些分配不一定有眾數(shù)，換言之，分配很平均時(shí)或眾數(shù)很多時(shí)，眾數(shù)即失去意義和

4、功能?！?、最常出現(xiàn)之?dāng)?shù)值，不一定代表最接近整體分配之中心的數(shù)值，亦即可能不是最具代表性之?dāng)?shù)值（這在Ordinal或Interval-ratio之資料中最可能發(fā)生）。二、中位數(shù)(Median)或中數(shù)　　中位數(shù)是一種和位置有關(guān)之?dāng)?shù)值，當(dāng)我們將資料中所有個(gè)案(cases)之分?jǐn)?shù)依大小順序排列，站在中間位置之個(gè)案的分?jǐn)?shù)，即為中位數(shù)，例如下列分?jǐn)?shù)分配之中位數(shù)為43。25274364190　　中位數(shù)找出後，我們即可知全部資料中有50%的案例是高於此分?jǐn)?shù)，也有50%的案例低於此分?jǐn)?shù)或數(shù)值?！　≈形粩?shù)尋找之方法須視資料中有多少個(gè)案(cases)來(lái)決定?！?

5、、若樣本數(shù)目N是奇數(shù)，則先將N+1然後除以2，即(N+1)/2，在(N+1)/2之位置者之分?jǐn)?shù)即為中位數(shù)。以上例為例，因有5個(gè)分?jǐn)?shù)，(5+1)/2=3，因此在順序中第3位者即為中間之個(gè)案，其分?jǐn)?shù)為中位數(shù)?！?、若樣本數(shù)目N是偶數(shù)，則中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為中數(shù)。我們可以N/2及(N/2)+1來(lái)找出這兩個(gè)中間的個(gè)案，然後將此二個(gè)案之分?jǐn)?shù)相加後除2。如：　　　　2527436475190　　　43及64兩分?jǐn)?shù)所占之位置是在次數(shù)分配順序中之中間，中位數(shù)即為(43+64)/2=53.5。三、其它和位置有關(guān)之量數(shù)：百分位數(shù)、十分位數(shù)、及四分位數(shù)　1、百分

6、位數(shù)(percentile)：代表資料中在此分?jǐn)?shù)下有多少百分比之樣本是在此分?jǐn)?shù)之下。如540為第46百分位，意即有46%的人之分?jǐn)?shù)是低於540分的?！　　∫源送浦?，則中位數(shù)即為50百分位之?dāng)?shù)。在未分組歸類之資料中找某一百分位數(shù)，如37百分位的方法是，以N×0.37，　　　如N為100，則第37件案例之分?jǐn)?shù)，即為第37百分位之分?jǐn)?shù)，若N=50，則50×0.37=18.5。依此計(jì)算，第37百分位數(shù)應(yīng)該是介於第18及第19件個(gè)案中間的數(shù)值，但我們通常會(huì)四捨五入，而以第19件的分?jǐn)?shù)為此例中之第37社會(huì)統(tǒng)計(jì)關(guān)秉寅百分位的分?jǐn)?shù)。因此，百分位數(shù)的計(jì)算就是將

7、全體樣本數(shù)分成一百等份?！?、十分位數(shù)(deciles)：若將全體樣本分成十等份，則第一個(gè)十分位之分?jǐn)?shù)是指此分?jǐn)?shù)以下有10%的件數(shù)低於此分?jǐn)?shù)。所以，第五個(gè)十分位也就是中位數(shù)?！?、四分位數(shù)(quartiles)：是將N分成四等份，因此第一個(gè)四分位之分?jǐn)?shù)是指有25%的樣本數(shù)目（N）的分?jǐn)?shù)低於此分?jǐn)?shù)。所以，第二個(gè)四分位數(shù)也就是中位數(shù)。四、算術(shù)平均數(shù)(Mean)(或)：即所有分?jǐn)?shù)之總和除以N。算數(shù)平均數(shù)報(bào)告的是這個(gè)分配的平均數(shù)值，這是最常用的集中量數(shù)?！　。溅?Xi)／N　算術(shù)平均數(shù)有以下特性：　1、Σ(Xi－)＝0，即資料中每一分?jǐn)?shù)與平均數(shù)之差的

8、總和是0。　2、Σ(Xi－)2＝minimum，亦即平方差之總和是最小的（相對(duì)於任何其它數(shù)值），此指資料中所有分?jǐn)?shù)與平均數(shù)之距離最小。這也說(shuō)明了算數(shù)平均數(shù)相對(duì)於其他