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《高考數(shù)學專題復習講練測——專題五 數(shù)列、數(shù)學歸納法 專題復習講練 3 數(shù)學歸納法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§3數(shù)學歸納法 一、復習要點 1．設P（ｎ）是與自然數(shù)ｎ有關(guān)的一個命題．為了證明P（ｎ）對于ｎ≥ｎ０（ｎ０≥1，ｎ０∈Ｎ）的一切ｎ均成立，先證P（ｎ０）成立，然后假設P（ｋ）（ｋ≥ｎ０，ｋ∈Ｎ）成立，推證P（ｋ＋1）也成立，這種證題方法叫做數(shù)學歸納法． 2．用數(shù)學歸納法證明命題，第一步稱為奠基步驟，是歸納的基礎；第二步稱為歸納遞推步驟．這兩步缺一不可，缺第一步，歸納假設就失去了依據(jù)；缺第二步，實際上等于沒有證明． 3．用數(shù)學歸納法證明命題P（ｎ），實質(zhì)就是證明命題“若Ｐ（ｋ），則Ｐ（ｋ＋1）”．因而它用到數(shù)學證明題的各種方法和技
2、巧，特別是在用數(shù)學歸納法證明不等式和整除性問題時，還常常用到比較法和分析法． 4．在研究數(shù)列的某些性質(zhì)時，利用遞推關(guān)系，便于用數(shù)學歸納法證明． 5．用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)ｎ有關(guān)的命題是一個行之有效的方法，因此它有極廣泛的應用．不論是代數(shù)、三角、幾何中的問題，還是證明恒等式與不等式，都有它的用武之地． 6．在研究數(shù)列的探索性與存在性問題時，數(shù)學歸納法常與不完全歸納法結(jié)合使用，其步驟是：歸納—猜想—證明． 與首輪復習不同的是，本輪應把數(shù)學歸納法綜合問題的復習作為重點． 二、例題講解 例1用數(shù)學歸納法證明 （1＋1）（1＋（1／
3、4））（1＋（1／7））…[1＋1／（3ｎ－2）]＞（ｎ∈Ｎ）． 講解：本題主要復習數(shù)學歸納法的原理． （1）當ｎ＝1時，左邊＝1＋1＝2＝，右邊＝，不等式顯然成立． ?。?）假設ｎ＝ｋ時，不等式成立，即 ?。?＋1）（1＋（1／4））（1＋（1／7））…（1＋1／（3ｋ－2））＞． 那么，當ｎ＝ｋ＋1時， ?。郏?＋1）（1＋（1／4））（1＋（1／7））…（1＋1／（3ｋ－2））］（1＋1／（3ｋ＋1））＞（1＋1／（3ｋ＋1））＝·（3ｋ＋2）／（3ｋ＋1）．∵?。āぃ?ｋ＋2）／（2ｋ＋1））３－（）３＝（（3ｋ＋2）
4、３／（3ｋ＋1）２）－（3ｋ＋4）＝（（3ｋ＋2）３－（3ｋ＋1）２（3ｋ＋4）／（3ｋ＋1）２）＝（9ｋ＋4）／（3ｋ＋1）２）＞0， ∴ ·（3ｋ＋2）／（3ｋ＋1）＞＝． ∴ 當ｎ＝ｋ＋1時，不等式亦成立． 由（1）、（2）證明知，不等式對一切ｎ∈Ｎ都成立． 說明：在第二步證明·（3ｋ＋2）／（3ｋ＋1）＞時，我們還用到了比較法． 例2已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=（an2+2）／（2an），求證＜an＜+1.講解：思路1．當n=1時命題顯然成立；設n=k時命題成立，即＜ak＜+1，則當n=k+1時，ak
5、+1=（ak2+2）／（2ak），要比較其與的大小，可作差：ak+1-=（（ak-）２／2ak）＞0（ak＞），若用基本不等式：ak+1≥，取等號的條件是ak=，由歸納假設知等號不能成立．而要比較ak+1與+1的大小，亦可作差處理：ak+1--1=（［ak-（+1）］２-1-2／2ak）.用函數(shù)觀點研究：設f（x）=（［x-（+1）］２－1－2／2x），當x∈（，+1）時，分母恒正，而分子是一個二次函數(shù)，開口向上，以直線x=+1為對稱軸，故在所給范圍內(nèi)為減函數(shù)，從而分子小于［-（+1）］２－1-2=-2＜0，故命題成立．?。ó?/p>
6、然也可用函數(shù)g（x）=（x２+2）／2x=（1／2）（x+（2／x））在（，+1）上單調(diào)遞增加以證明） 思路2．要證明ak+1＜+1，即要證（ak２＋2）／2ak＜+1，即要證（1／2）（ak+（2／ak））＜+1,而ak＜+1,（2／ak）小于何值?顯見需知ak大于何值，由歸納假設有ak＞，故（2／ak）＜,（1／2）（ak+（2／ak））＜（1／2）（+1+）=+（1／2）＜+1,得證． 這個過程從目標不等號的方向與歸納假設中的不等式的方向的關(guān)系上找到了突破口．當然也可從簡化目標的角度入手：要證ak２+2＜2ak+2ak,即要證ak
7、２-2（+1）ak+2＜0，從而由思路1中的方法（配方）解決． 總之，用數(shù)學歸納法證明不等式時，在驗證初始情況和進行歸納推理時，證明不等式的一些常用方法在這里也是常常用到的，如：比較法、分析法、放縮法，還有函數(shù)與方程的思想方法等． 例3 正數(shù)數(shù)列｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝滿足：對任意自然數(shù)ｎ，ａｎ，ｂｎ，ａｎ＋1成等差數(shù)列，ｂｎ，ａｎ＋1，ｂｎ＋1成等比數(shù)列． （1）證明數(shù)列｛｝為等差數(shù)列； ?。?）若ａ1＝1，ｂ1＝2，ａ２＝3，求數(shù)列｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝的通項公式； ?。?）在條件（2）下，設數(shù)列｛ｃｎ｝滿足ｃｎ＝2（ｎ∈Ｎ），試比較ｃｎ
8、與2ｂｎ的大小，并說明理由． 講解：（1）證明：依題意，ａｎ＞0，ｂｎ＞0，2ｂｎ＝ａｎ＋ａｎ＋1，且ａｎ＋1＝， ∴?。幔睿剑ǎ睢?）． ∴ 2ｂｎ＝＋． 由此可得2＝
