2.2 算子和算子方程

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1、2.2算子和算子方程2.2.1線性算子1.定義：設(shè)和都是線性函數(shù)集，且，若元素經(jīng)算子映射得唯一的確定的元素，其映射關(guān)系為并滿足線性運算律(a、b為任意常數(shù))則稱為線性算子。其中：是的定義域，是的值域。若對于任意的，都有成立，則稱為線性連續(xù)算子。若對于任意的，都有(C為有限常數(shù))成立，則稱為線性有界算子。可以證明：線性連續(xù)算子等價于線性有界算子。2.運算性質(zhì)設(shè)A、B為線性算子，、分別為其定義域(1)算子的和——若(2)算子的積——若，(3)算子的逆——若，則，稱與B互為逆算子。。3.線性算子方程：可分為

2、兩種類型：(1)設(shè)A是已知線性算子，若其值域中的已知點由定義域中相應(yīng)未知點映射而得，即則稱之為確定性算子方程。由算子方程的運算性質(zhì)：確定性算子方程的求解任務(wù)：算子求逆運算。若存在，則解答是唯一的，連續(xù)，則解答是穩(wěn)定的。(2)設(shè)A為已知線性算子，其值域等于定義域，且(為待定常數(shù))在值域中也是未知點，則稱為本征值算子方程。本征值算子方程的求解任務(wù)：①確定所取的待定的值；②求出所對應(yīng)的解。2.2.2對稱算子和正定算子1.對稱算子定義1：設(shè)，則稱為含算子的內(nèi)積，也即是交集上的線性泛函。定義2：若函數(shù)集中的任何

3、兩個元素U和V所構(gòu)成含算子的內(nèi)積都滿足則稱A為D上的對稱算子。定義3：若凡都有則A亦稱為D上的對稱算子。2.正定算子(1)定義：若凡都有(a為實數(shù))稱A為D上的下有界算子。當a=0時，稱A為D上的非負算子。(2)定義：若凡都有則稱A為D上的正算子。(3)定義：若凡都有(k為正數(shù))則稱A為D上的正定算子。由以上定義可知：正定算子ì正算子ì非負算子ì下有界算子ì對稱算子ì線性算子。2.2.3自伴算子1.伴隨算子定義：設(shè)A是H空間的線性連續(xù)算子，若存在B，使對于任何都有：則稱B為A的伴隨算子，記為=。2.自

4、伴算子基于上面的定義，當B=A時，則稱為自伴算子，即。由上可知，自伴算子就是定義在H空間的對稱算子。可以嚴格證明：凡自伴算子都能求逆，其逆算子亦為自伴算子。3.Lagrange意義下的自伴算子通常求解電磁場問題，所要求解的場函數(shù)既要滿足算子方程，又要滿足邊界條件。這就是說：要求算子的自伴性，只要在符合邊界條件的函數(shù)集上是線性連續(xù)對稱算子，就能保證方程存在唯一、穩(wěn)定的解，這種線性連續(xù)自伴算子就是Lagrange意義下的自伴算子。限定算子自伴性的邊界條件——自伴邊界條件T自伴邊值問題。4.自伴邊值問題(1

5、)Poisson邊值問題(2)Helmholtz邊值問題標量形式矢量形式若，T(3)Fredholm邊值問題第一類第二類