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1、慣性矩的計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式截面圖形的幾何性質(zhì)一.重點(diǎn)及難點(diǎn)：(一).截面靜矩和形心1.靜矩的定義式如圖1所示任意有限平面圖形，取其單元如面積，定義它對任意軸的一次矩為它對該軸的靜矩，即yx整個(gè)圖形對y、z軸的靜矩分別為×Cy（I-1）0Ax2.形心與靜矩關(guān)系圖I-1設(shè)平面圖形形心C的坐標(biāo)為則0，（I-2）推論1如果y軸通過形心（即），則靜矩；同理，如果x軸通過形心（即），則靜矩；反之也成立。推論2如果x、y軸均為圖形的對稱軸，則其交點(diǎn)即為圖形形心；如果y軸為圖形對稱軸，則圖形形心必在此軸上。3.組
2、合圖形的靜矩和形心設(shè)截面圖形由幾個(gè)面積分別為的簡單圖形組成，且一直各族圖形的形心坐標(biāo)分別為，則圖形對y軸和x軸的靜矩分別為（I-3）截面圖形的形心坐標(biāo)為，（I-4）4.靜矩的特征(1)界面圖形的靜矩是對某一坐標(biāo)軸所定義的，故靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)。(2)靜矩有的單位為。(3)靜矩的數(shù)值可正可負(fù)，也可為零。圖形對任意形心軸的靜矩必定為零，反之，若圖形對某一軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形心。(4)若已知圖形的形心坐標(biāo)。則可由式（I-1）求圖形對坐標(biāo)軸的靜矩。若已知圖形對坐標(biāo)軸的靜矩，則可由式（I-2）求圖形的形心坐標(biāo)
3、。組合圖形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出圖形對某一坐標(biāo)系的靜矩，然后由式（I-4）求出其形心坐標(biāo)。（二）.慣性矩慣性積慣性半徑1.慣性矩定義設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3），則圖形對O點(diǎn)的極慣性矩定義為（I-5）圖形對y軸和x軸的光性矩分別定義為，（I-6）慣性矩的特征（1）界面圖形的極慣性矩是對某一極點(diǎn)定義的；軸慣性矩是對某一坐標(biāo)軸定義的。（2）極慣性矩和軸慣性矩的單位為。（1）極慣性矩和軸慣性矩的數(shù)值均為恒為大于零的正值。（2）圖形對某一點(diǎn)的極慣性矩的數(shù)值，恒等于圖形對以該點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的任
4、意一對坐標(biāo)軸的軸慣性矩之和，即（I-7）（3）組合圖形（圖I-2）對某一點(diǎn)的極慣性矩或某一軸的軸慣性矩，分別等于各族紛紛圖形對同一點(diǎn)的極慣性矩或同一軸慣性矩之和，即，，（I-8）yyxdAy0x0x圖I-2圖I-31.慣性積定義設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3），則圖形對y軸和x軸的慣性積定義為（I-9）慣性積的特征（1）界面圖形的慣性積是對相互垂直的某一對坐標(biāo)軸定義的。（2）慣性積的單位為。（3）慣性積的數(shù)值可正可負(fù)，也可能等于零。若一對坐標(biāo)周中有一軸為圖形的對稱軸，則圖形對這一對稱軸的慣性積必等于零
5、。但圖形對某一對坐標(biāo)軸的慣性積為零，這一對坐標(biāo)軸重且不一定有圖形的對稱軸。（1）組合圖形對某一對坐標(biāo)軸的慣性積，等于各組分圖形對同一坐標(biāo)軸的慣性積之和，即（I-10）1.慣性半徑定義：任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3）,則圖形對y軸和x軸的慣性半徑分別定義為，（I-11）慣性半徑的特征（1）慣性半徑是對某一坐標(biāo)軸定義的。（2）慣性半徑的單位為m。（3）慣性半徑的數(shù)值恒取證之。（三）.慣性矩和慣性積的平行移軸公式平行移軸公式（I-12）（I-13）平行移軸公式的特征（1）意形狀界面光圖形的面積為A（圖（I-
6、4）；軸為圖形的形心軸；x，y軸為分別與形心軸相距為a和b的平行軸。（2）兩對平行軸之間的距離a和b的正負(fù)，可任意選取坐標(biāo)軸x，y或形心為參考軸加以確定。（3）在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對形心軸的慣性矩為最小，但圖形對形心軸的慣性積不一定是最小。ydAbCa0x圖I-4(四)、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式.主慣性軸主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式的特征(1)角度的正負(fù)號，從原坐標(biāo)軸x,y轉(zhuǎn)至新坐標(biāo)軸，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向者為正（圖5）。(2)原點(diǎn)O為截面圖形平面內(nèi)的任意點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸公式與圖形的形心無關(guān)。(3)圖形對通過同一坐標(biāo)原點(diǎn)
7、任意一對相互垂直坐標(biāo)軸的兩個(gè)軸慣性矩之和為常量，等于圖形對原點(diǎn)的極慣性矩，即主慣性軸、主慣性矩任意形狀截面圖形對以某一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)軸、的慣性積為零（），則坐標(biāo)軸、稱為圖形通過點(diǎn)O的主慣性軸(圖6)。截面圖形對主慣性軸的慣性矩，稱為主慣性矩。主慣性軸、主慣性矩的確定(1)對于某一點(diǎn)O，若能找到通過點(diǎn)O的圖形的對稱軸，則以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，并包含對稱軸的一隊(duì)坐標(biāo)軸，即為圖形通過點(diǎn)O的一對主慣性軸。對于具有對稱軸的圖形（或組合圖形），往往已知其通過自身形心軸的慣性矩。于是，圖形對通過點(diǎn)o的主慣性軸的主慣性矩，一
8、般即可由平行移軸公式直接計(jì)算。(2)若通過某一點(diǎn)o沒有圖形的對稱軸，則可以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，任作一坐標(biāo)軸x，y為參考軸，并求出圖形對參考軸x，y的慣性矩和慣性積。于是，圖形通過點(diǎn)o的一對主慣性軸方位及主慣性矩分別為（I-16）(I-17)主慣性軸、主慣性矩的特征（1）圖形通過某一點(diǎn)O至少具有一對主慣性軸，而主慣性局勢圖形對通過同一點(diǎn)O所有軸的慣性矩中最大和最小。（2）主慣性軸的方位角，從
