第8屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答

《第8屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、第8屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答（1975年于德意志民主共和國的居斯特羅）【題1】一根桿以恒定的角速度ω繞豎直軸旋轉(zhuǎn)，桿與軸的夾角為（900－α）。質(zhì)量為m的質(zhì)點可以沿桿滑動，摩擦系數(shù)為μ。求轉(zhuǎn)動過程中，質(zhì)點保持在同一高度的條件（如圖8.1）。解：我們發(fā)現(xiàn)，采用所謂“滑動摩擦角”概念是有用的。如果滑動摩擦系數(shù)等于某一角度的正切值，就稱這個角ε為“滑動摩擦角”（如解圖8.1所示），即tanε＝μ我們必須求出把物體壓向平臺的合力。如果合力與平面法線之間的夾角在滑動摩擦角之內(nèi)，則摩擦力大到足以阻止

2、運動。極限情形是合力與摩擦角的一臂重合。對于本題，當(dāng)我們尋找質(zhì)點在旋轉(zhuǎn)桿上向上滑動的極限情況　　　　　時，合力應(yīng)位于（α＋ε）角的雙臂內(nèi)（如解圖8.2所示）。圖8.11,3,5　　　　　　　　　　　　　解圖8.1　　　　　　　　　　　　　解圖8.2把質(zhì)點壓在桿上的力是重力mg與mω2r＝mω2Lcosα的合力。故質(zhì)點在向上滑動的極限情形下，角（α＋ε）的正切為同理，質(zhì)點向下滑動的極限情形可用角（α＋ε）的正切得到。于是，如果則質(zhì)點在旋轉(zhuǎn)桿上處于平衡。從邊界條件可以看出，存在著一個較高位置（Lf）

3、和一個較低位置（La），質(zhì)點在這兩位置之間的任何地方將處于隨遇解圖8.3平衡狀態(tài)。在這兩邊界之外，質(zhì)點無法平衡，質(zhì)點將向上或向下滑動。隨遇平衡位置Lf－La可由邊界條件導(dǎo)出：解圖8.3對不同的α角，畫出質(zhì)點在桿上哪些部分處于隨遇　　　　平衡，（取ω＝10s-1，μ＝0.268，ε＝150）。虛線表示無摩擦?xí)r質(zhì)點非穩(wěn)定平衡位置?！绢}2】求出厚透鏡對兩個不同波長有同一焦距的條件，并就不同類型的透鏡討論可行性。第3頁共3頁解答：我們必須知道厚透鏡的性質(zhì)。厚透鏡由下述數(shù)據(jù)表征：球形表面的半徑r1和r2，

4、厚度d和折射率n（如解圖8.4所示）。焦距f＝BF由下式給出焦距是從主點B算起的。B點離表面的距離為　　　　　　　解圖8.4　　上述公式對任意厚度的厚透鏡都成立，但只對近軸光線才給出滿意的結(jié)果，因為是在一定的近似下得到的?！　」獗煌哥R色散。透鏡對波長λa的折射率是na，對波長λb的折射率是nb。按折射率的冪次整理焦距公式，得f（r1＋r2－d）n2＋[2fd－f（r1＋r2）－r1r2]n－fd＝0這是一個二次方程。給定一個f值，應(yīng)有兩個n值，因此，我們的問題可望解決?！　∠群笠詎a和nb代入方

5、程，并令其相等：結(jié)果得出　　如果半徑r1、r2與厚度d滿足這一條件，則對兩個不同的波長，即對兩個不同的折射率來說，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘積na·nb在起作用，而不是色散（nb－na）。因為折射率大于１，于是括號內(nèi)的數(shù)值小于１，說明半徑之和小于鏡厚。這意味著透鏡是相當(dāng)厚的?！　〗Y(jié)果討論：首先透鏡不能是平凸或平凹的，因為這種透鏡有無限大的半徑。其次，r1和r2之一為負的發(fā)散透鏡是許可的，但不能是雙凹透鏡?！　∪绻蟮牟皇莊而是（f－h(huán)）對兩個折射率有相同的值（注：即要求消除焦點色差），實

6、現(xiàn)這一點也是可能的，但卻是一個復(fù)雜得多的問題?！绢}3】質(zhì)量為m的一簇離子在P點以同一速度v向不同方向散開（如圖8.2）。垂直紙面的均勻磁場B將這些離子聚焦于R點，距離PR＝2a，離子的軌道應(yīng)是對稱的。試確定磁場區(qū)的邊界。解：在磁場B中，作用于電量為Q、速度為v的質(zhì)點上的洛侖茲力為QvB。結(jié)果使粒子在半徑為r的圓軌道上運動，即：　　　　　　質(zhì)量為m的所有粒子都在半徑為　　　　　　　　　　　　　　圖8.2第3頁共3頁的相同的圓軌道上運動。離開磁場后，它們將沿最后的切線方向直線飛行。磁場邊界應(yīng)按所有離

7、子都打在同一點R的要求去尋找。要解決的數(shù)學(xué)問題是，粒子應(yīng)從這些半徑為r的圓的何處離開，才能使它們的切線在R點相交。這些半徑為r的圓的圓心都位于y軸上（如解圖8.5所示）在半徑為r的圓軌道上運動的粒子，在坐標為（x，y）的A點離開磁場，沿切線飛向R。由相似三角形得到：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解圖8.5　　　　　　圓的方程為消去（y－b），得到滿足條件的A點的集合，因此，表示磁場邊界的函數(shù)為：　　　　　　這是一個四次函數(shù)。只要在第一象限畫出這個函數(shù)的曲線，把它對y軸反演

8、即可。表示磁場邊界的函數(shù)的形式取決于給定的距離a和半徑r的相對大?。ㄒ娊鈭D8.6（a），（b），（c））?！　∪绻霃絩小于a（小速度強磁場），則磁場邊界無限延伸，向任何方向出發(fā)的離子也都能聚焦①。　　如果半徑r等于a，所有的離子也都能聚焦②。磁場邊界在P和R點處垂直出發(fā)，處在有限的范圍內(nèi)?！　∪绻霃絩大于a，邊界更為平坦。那些出發(fā)方向比P點切線更陡的離子不能達到R點。　　　　　　　　　　　解圖8.6　?。ㄗⅲ孩僭摹跋蛉魏畏较虺龅碾x子都能聚焦”的結(jié)論不妥。在r＜a時，v與x軸夾角大于900的