一輪復(fù)習(xí)配套講義：第7篇 第6講 空間向量及其運算

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1、第6講　空間向量及其運算[最新考綱]1．了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．2．掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示．3．掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.知識梳理1．空間向量在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量，其大小叫做向量的長度或模．2．空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間

2、向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.3．兩個向量的數(shù)量積(1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝

3、a

4、

5、b

6、cos.(2)空間向量數(shù)量積的運算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)．②交換律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0

7、，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模

8、a

9、夾角(a≠0，b≠0)cos＝辨析感悟1．空間向量的線性運算(1)若A，B，C，D是空間任意四點，則有＋＋＋＝0.(√)(2)(教材習(xí)題改編)

10、a

11、－

12、b

13、＝

14、a＋b

15、是a，b共線的充要條件．(×)(3)若a，b共線，則a與b所在直線平行．(×)(4)對空間任意一點O與不共線的三點A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點共面．(×)2．共線、共面與垂直(5)對于空間非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0.(√)(6)(教材習(xí)題改編)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)

16、，若

17、a

18、＝6，且a⊥b，則x＋y的值為1或－3.(√)(7)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)λ等于.(√)3．空間向量的數(shù)量積(8)在向量的數(shù)量積運算中滿足(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(9)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，則(a＋b)·(a－b)的值為－13.(√)(10)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，則a，b夾角的余弦值為－.(√)[感悟·提升]1．一種思想　理解空間向量概念、性質(zhì)、運算，注意和平面向量類比，如(5)．2．兩種方法　一是用向量方法解決

19、立體幾何問題，樹立“基底”意識，利用基向量進行線性運算，如(5)．二是強化坐標(biāo)運算，如(6)、(7)、(9)、(10).學(xué)生用書第122頁考點一　空間向量的線性運算【例1】如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別為OA、BC的中點，點G在線段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，則x，y，z的值分別為________________．解析　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋×(＋)－×＝＋＋，又＝x＋y＋z，根據(jù)空間向量的基本定理，x＝，y＝z＝.答案　，，規(guī)律方法(1)選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何

20、問題的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等，就近表示所需向量．(2)首尾相接的若干個向量的和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．所以在求若干向量的和，可以通過平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和．【訓(xùn)練1】如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點．設(shè)E是棱DD1上的點，且＝，試用，，表示.解?。剑剑剑?＋)＝＋＋＝－－.考點二　共線定理、共面定理的應(yīng)用【例2】已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量方法求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面

21、；(2)BD∥平面EFGH.證明　(1)連接BG，則＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知：E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)因為＝－＝－＝(－)＝，因為E，H，B，D四點不共線，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.規(guī)律方法證明點共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明＝x＋y或?qū)臻g任一點O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理實際上也是三個非零向量所在直線共面的充要條件．【訓(xùn)練2】已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿