專題一 第四講 (2)

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1、第四講　轉(zhuǎn)化與化歸思想1．轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種數(shù)學(xué)方法．一般是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題．2．轉(zhuǎn)化與化歸思想是實(shí)現(xiàn)具有相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)知識(shí)板塊進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù)，如函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程、數(shù)與形、式與數(shù)、角與邊、空間與平面、實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的互化等，消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法等都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們也經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，在復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注意相近主干知識(shí)之間的互化，注重

2、知識(shí)的綜合性．3．轉(zhuǎn)化與化歸思想的原則(1)熟悉已知化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，以便于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決．(2)簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，如三維空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維平面問(wèn)題，通過(guò)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決思路和方法，獲得對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的解答啟示和思路以達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的．(3)具體化原則：化歸方向應(yīng)由抽象到具體．(4)和諧統(tǒng)一原則：轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式；或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律．(5)正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，應(yīng)想到問(wèn)題

3、的反面；或問(wèn)題的正面較復(fù)雜時(shí)，其反面一般是簡(jiǎn)單的；設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲得解決．1．(2012·北京)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝，S2＝a3，則a2＝________.答案　1解析　設(shè)出等差數(shù)列的公差，列方程求解．設(shè){an}的公差為d，由S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d，又a1＝，所以d＝，故a2＝a1＋d＝1.2．(2013·重慶)4cos50°－tan40°等于(　　)A.B.C.D．2－1答案　C解析　4cos50°－tan40°＝＝＝＝＝＝.3．(2012·重慶)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log

4、2，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　)A．a(chǎn)＝bcC．a(chǎn)b>c答案　B解析　∵a＝log23＋log2＝log23，b＝log29－log2＝log23，∴a＝b.又∵函數(shù)y＝logax(a>1)為增函數(shù)，∴a＝log23>log22＝1，c＝log32c.4．(2011·天津)對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－1)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(　　)A．(－1,1]∪(2，＋∞)B．(－2，－1]∪(1,2]C．(

5、－∞，－2)∪(1,2]D．[－2，－1]答案　B解析　依題意可得f(x)＝作出其示意圖如圖所示．由數(shù)形結(jié)合知，實(shí)數(shù)c需有1

6、y2＝4內(nèi)過(guò)點(diǎn)P(－1,1)作兩條互相垂直的直線與C分別交于A，B和M，N，則＋的范圍是________．審題破題　(1)觀察幾個(gè)數(shù)的共同特征，可以構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大?。?2)由于題目條件中過(guò)點(diǎn)P(－1,1)可作無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的直線，因此可取特殊位置的兩條直線來(lái)解決問(wèn)題．答案　(1)A　(2)解析　(1)由于＝，＝，＝，故可構(gòu)造函數(shù)f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.而f′(x)＝′＝＝，令f′(x)＞0得x＜0或x＞2，即函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，因此有f(4)＜f(5)＜f(6)，即＜＜.(2)設(shè)＝t，考慮特殊情況：當(dāng)AB垂直O(jiān)P

7、時(shí)，MN過(guò)點(diǎn)O，

8、AB

9、最小，

10、MN

11、最大，所以t最?。剑瑃最大＝.所以t∈.又因?yàn)閠＋≥2＝2，所以t＋∈.反思?xì)w納　當(dāng)問(wèn)題難以入手時(shí)，應(yīng)先對(duì)特殊情況或簡(jiǎn)單情形進(jìn)行觀察、分析，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中特殊的數(shù)量或關(guān)系結(jié)構(gòu)或部分元素，然后推廣到一般情形，以完成從特殊情形的研究到一般問(wèn)題的解答的過(guò)渡，這就是特殊化的化歸策略．?dāng)?shù)學(xué)題目有的具有一般性，有的具有特殊性，解題時(shí)，有時(shí)需要把一般問(wèn)題化歸為特殊問(wèn)題，有時(shí)需要把特殊問(wèn)題化歸為一般問(wèn)題．變式訓(xùn)練1　已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1、a3