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《高中數(shù)學(xué) （2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì)）示范教案 新人教a版必修2 (2)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)整體設(shè)計教學(xué)分析空間中直線與平面之間的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應(yīng)用較多，而且是空間問題平面化的典范.空間中直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅是由線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，而且將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系，因此直線與平面垂直的性質(zhì)定理在立體幾何中有著特殊的地位和作用.本節(jié)重點(diǎn)是在鞏固線線垂直和面面垂直的基礎(chǔ)上，討論直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用.三維目標(biāo)1.探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、實(shí)事求是等嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度和品質(zhì).2.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用提高邏輯推理的能力.重點(diǎn)難點(diǎn)直線與平面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用.課時安排1
2、課時教學(xué)過程復(fù)習(xí)直線與平面垂直的定義：一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們說這條直線和這個平面互相垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.直線和平面垂直的畫法及表示如下：圖1如圖1，表示方法為：a⊥α.由直線與平面垂直的定義不難得出：b⊥a.導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入)大家都讀過茅盾先生的《白楊禮贊》，在廣闊的西北平原上，矗立著一排排白楊樹，它們像哨兵一樣守衛(wèi)著祖國疆土.一排排的白楊樹，它們都垂直地面，那么它們之間的位置關(guān)系如何呢？思路2.(事例導(dǎo)入)如圖2，長方體ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD，它們之間具有什么位
3、置關(guān)系？圖2推進(jìn)新課新知探究提出問題①回憶空間兩直線平行的定義.②判斷同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系？③找出恰當(dāng)空間模型探究同垂直于一個平面的兩條直線的位置關(guān)系.④用三種語言描述直線與平面垂直的性質(zhì)定理.⑤如何理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理的地位與作用？討論結(jié)果：①如果兩條直線沒有公共點(diǎn)，我們說這兩條直線平行.它的定義是以否定形式給出的，其證明方法多用反證法.②如圖3，同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系可能是：相交、平行、異面.圖3③如圖4，長方體ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直于所在的平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系？圖4圖5棱AA
4、′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD，它們之間互相平行.④直線和平面垂直的性質(zhì)定理用文字語言表示為：垂直于同一個平面的兩條直線平行，也可簡記為線面垂直、線線平行.直線和平面垂直的性質(zhì)定理用符號語言表示為：b∥a.直線和平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語言表示為：如圖5.⑤直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅揭示了線面之間的關(guān)系，而且揭示了平行與垂直之間的內(nèi)在聯(lián)系.應(yīng)用示例思路1例1證明垂直于同一個平面的兩條直線平行.解:已知a⊥α,b⊥α.求證：a∥b.圖6證明：（反證法）如圖6，假定a與b不平行，且b∩α=O,作直線b′，使O∈b′,a∥b′.直線b′與直線b確定平面β，設(shè)α∩β=
5、c,則O∈c.∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β,a∥b′顯然不可能，因此b∥a.例2如圖7，已知α∩β=l,EA⊥α于點(diǎn)A,EB⊥β于點(diǎn)B,aα,a⊥AB.求證:a∥l.圖7證明：l⊥平面EAB.又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA.又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.∴a∥l.思路2例1如圖8,已知直線a⊥b，b⊥α，aα.求證：a∥α.圖8證明：在直線a上取一點(diǎn)A，過A作b′∥b，則b′必與α相交，設(shè)交點(diǎn)為B，過相交直線a、b′作平面β，設(shè)α∩β=a′,∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b,∴b′⊥α.又∵a′α,∴b′
6、⊥a′.由a，b′，a′都在平面β內(nèi)，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.例2如圖9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).（1）求證：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求證:MN⊥面PCD.圖9證明：(1)取PD中點(diǎn)E,又N為PC中點(diǎn),連接NE,則NE∥CD,NE=CD.又∵AM∥CD,AM=CD,∴AMNE.∴四邊形AMNE為平行四邊形.∴MN∥AE.∵CD⊥AE.(2)當(dāng)∠PDA=45°時,Rt△PAD為等腰直角三角形,則AE⊥PD.又MN∥AE,∴MN⊥PD,PD∩CD=D.∴MN⊥平面PCD.變式訓(xùn)練已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直
7、線，而直線l和平面α相交，并且和a、b、c三條直線成等角.求證：l⊥α.證明：分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO=BO=CO.設(shè)l經(jīng)過O，在l上取一點(diǎn)P，在△POA、△POB、△POC中，∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，∴△POA≌△POB≌△POC.∴PA=PB=PC.取AB的中點(diǎn)D,連接OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB.∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.∵PO平面PO
