狄尼定理的證明（精選篇）

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1、狄尼定理的證明（精選7篇）以下是網(wǎng)友分享的關(guān)于狄尼定理的證明的資料7篇，希望對您有所幫助，就愛閱讀感謝您的支持。[狄尼定理的證明篇一]為證明定理本身，我先證明幾個引理。引理1(Bessel不等式)：若函數(shù)f(x)在[-p,p]上可積，則有a02￥1+?(an2+bn2)￡òf2(x)dx30狄尼定理的證明（精選7篇）以下是網(wǎng)友分享的關(guān)于狄尼定理的證明的資料7篇，希望對您有所幫助，就愛閱讀感謝您的支持。[狄尼定理的證明篇一]為證明定理本身，我先證明幾個引理。引理1(Bessel不等式)：若函數(shù)f(x)在[-p,p]上可積，則有a02￥1

2、+?(an2+bn2)￡òf2(x)dx30狄尼定理的證明（精選7篇）以下是網(wǎng)友分享的關(guān)于狄尼定理的證明的資料7篇，希望對您有所幫助，就愛閱讀感謝您的支持。[狄尼定理的證明篇一]為證明定理本身，我先證明幾個引理。引理1(Bessel不等式)：若函數(shù)f(x)在[-p,p]上可積，則有a02￥1+?(an2+bn2)￡òf2(x)dx302n=1p-pa02m證明：設(shè)Sm(x)=+?(ancosnx+bnsinnx)2n=1pp2pp2p顯然：ò[f(x)-Sm(x)]dx=-p-òpf(x)dx-2òf(x)Sm(x)dx+-p-òpS

3、n2m(x)dx30(*)a其中，òf(x)Sm(x)dx=02-ppp-òpf(x)dx+?(aòpf(x)cosnxdx+bòpf(x)sinnxdx)nn=1--mppp由傅立葉級數(shù)系數(shù)公式可以知道：pp-p2òf(x)Sm(x)dx=p2a0+p?(an2+bn2)2n=1mma02mp2222S(x)dx=[+(acosnx+bsinnx)]dx=a+p(a+b)30??mnn0nnòò2n=12n=1-p-p以上各式代入(*)式，可以得到：pp20￡-pò[f(x)-Sm(x)]dx=另-pòf(x)dx-p22p2a0-

4、p?(an2+bn2)2n=1mp2a0+p?(an+bn)￡22n=1m-pòf2(x)dx這個結(jié)果對于"m?N均成立，而右端是一定積分可以理解為有限常數(shù)，據(jù)此可知“p2a0+p?(an2+bn2)”這個級數(shù)的部分和有界，則引理1成立。2n=1m引理2：若函數(shù)f(x)是T=2p的周期函數(shù)，且在上可積，則它的傅立葉級數(shù)部分和Sm(x)可改寫為：Sm(x)=1pp-pò1sin(m+)uduf(x+u)2sin2a02m證明：設(shè)Sm(x)=+?(ancosnx+bnsinnx)2n=1ppp11m=f(x)dx+?[(òf(x)cosn

5、xdx)cosnx+(òf(x)sinnxdx)sinnx]30ò2p-ppn=1-p-p=1pp-pò1111f(u)[+?cosn(u-x)]du=f(x+t)[+cosnt]dt=?2n=1p-pò-x2n=1p-òpmp-xmp1sin(m+)uduf(x+u)u2sin2我在下邊給出一個比樓主強(qiáng)的結(jié)論！收斂定理：設(shè)f(x)是[a,b]的按段光滑函數(shù),如果它滿足:(1)在[a,b]只有有限個第一類間斷點(diǎn),在補(bǔ)充定義后它可積（應(yīng)當(dāng)指出：補(bǔ)充定義后，它已不是原來的函數(shù)）。(2)在[a,b]每一點(diǎn)都有f(x±0)，且定義補(bǔ)充定義后的

6、函數(shù)為f1(x)有：f(x+u)-f(x+0)f(x-u)-f(x-0)=f1(x+0)，lim=f1(x-0)30-u?0u?0uuf(x+0)+f(x-0)則f(x)的傅立葉級數(shù)在點(diǎn)x收斂于這一點(diǎn)的算術(shù)平均值，若2lim+在x連續(xù)，則收斂于f(x)。為方便，我僅證明f(x)是T=2p的在[-p,p]上的按段光滑函數(shù)(上述命題在此基礎(chǔ)上稍加變換即可)，則當(dāng)x?[-p,p]時有(其中an,bn是傅立葉級數(shù)系數(shù))f(x+0)+f(x-0)a0￥=+?(ancosnx+bnsinnx)22n=11證明：由引理1容易可知：limòf(x)s

7、in(n+xdx=030(**)n?￥20f(x+0)+f(x-0)-Sm(x)]=0成立，則命題得證，而若lim[n?￥21psin(m+)uf(x+0)+f(x-0)f(x+0)f(x-0)1du]lim[-Sm(x)]=lim[+-òf(x+u)n?￥n?￥u222p-p2sin21psin(m+)u1du=1，注意這個式子是偶函數(shù)，則另外，òp-p2sin211psin(m+)upsin(m+)uf(x+0)du=f(x+0)òòu2p-p2sinup02sin221psin(m+)u1=0，則命題得證。30若limò[f(x

8、+0)-f(x+u)]n?￥pu02sin2uf(x+0)-f(x+u)記g(u)=uusin2uf(x+0)-f(x+u)有微積分知識limg(u)==-f1(x+0)，若g(0)=-f1(x+0)u?0+uusin2