[理學(xué)]數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程22 各種積分間的聯(lián)系與場(chǎng)論初步

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1、第二十二章各種積分間的聯(lián)系與場(chǎng)論初步§1各種積分間的聯(lián)系1．應(yīng)用格林公式計(jì)算下列積分：（1），其中L為橢圓+=1取正向；（2）L同（1）；（3），是頂點(diǎn)為的三角形的邊界，取正向；（4）取正向；（5）為矩形的邊界，取正向；（6）其中是任意逐段光滑閉曲線．解（1）原式==（廣義極坐標(biāo)變換）=．（2）=．（3）原式．（4）原式．（5）原式．（6），，，，，所以，原式其中為包圍的平面區(qū)域．2．利用格林公式計(jì)算下列曲線所圍成的面積：（1）雙紐線；（2）笛卡爾葉形線；（3），，．解（1），其中由，所圍成．（2）作代換則得曲線的參數(shù)方程為，．所以，，，從而，，于是，面積為===．（3）====3．利

2、用高斯公式求下列積分：（1）.其中（a）為立方體的邊界曲面外側(cè)；（b）為錐面,下側(cè).解：（a）=2=2=(b)補(bǔ)充平面:的上側(cè)后，成為閉曲面的外側(cè),而===所以:+==2=2====所以==（2）,其中是單位球面的外側(cè)；解：=3=3=（3）設(shè)是上半球面的上側(cè)，求（a）(b)解：補(bǔ)充平面：，下側(cè)后，成為閉曲面的外側(cè)，而（a）所以3==2(b)==2d=0所以===dsind=（4）,是的外側(cè).解：,=3===44．用斯托克斯公式計(jì)算下列積分：（1）,其中（a）為圓周，方向是逆時(shí)針；（b）為所交的橢圓，沿軸正向看去，按逆時(shí)針方向；解：（a）取平面上由交線圍成的平面塊為S，上側(cè)，由Stoke

3、s公式=====（b）取平面上由交線圍成的平面塊為S，上側(cè)，由由Stokes公式====（2），是從經(jīng)至回到的三角形；解：三角形所在的平面為，取平面上由以上三角形圍成的平面塊為S，取上側(cè)，由stokes公式===（++）=（++）=（3），其中（a）為與三坐標(biāo)軸的交線，其方向與所圍平面區(qū)域上側(cè)構(gòu)成右手法則；（b）是曲線,()，它的方向與所圍曲面的上側(cè)構(gòu)成右手法則；解：（a）中取平面上與三坐標(biāo)面交線所圍平面塊為S，上側(cè)；（b）中取曲面上由所圍曲面塊為S，上側(cè)，則由stokes公式，得==2則（a）==0（因?yàn)閏os=cos=cos=）（b）注意到球面的法線的方向余弦為：,，，所以=2=2

4、由于曲面S關(guān)于平面對(duì)稱，故又于是=（4），是，，從軸正向看去圓周是逆時(shí)針方向．　解：平面的法線的方向余弦為cos，于是，　　　　　　　===5.　設(shè)L為平面上封閉曲線,為平面的任意方向，證明：，其中是的外法線方向。證明：不妨規(guī)定L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針的，以表示，由于夾角故得=+但且，因此，有：再利用Green公式，并注意到和均為常數(shù)，即得６．設(shè)Ｓ是封閉曲線，為任意固定方向，證明：.證明：因?yàn)槠渲袨榈姆较蛴嘞?，故有而為固定方向，從而均為常?shù)，于是由Ｇauss公式，得7．求I=,為包圍有界區(qū)域D的光滑閉曲線，為的外發(fā)向。解：設(shè)曲線的逆時(shí)針切線方向，則，即：而所以，=于是=8.證明Gauss積分，

5、其中是平面一單連通區(qū)域的邊界，而是上一點(diǎn)到外某一定點(diǎn)的距離，是的外法線方向.又若r表示上一點(diǎn)到內(nèi)某一定點(diǎn)的距離，則這個(gè)積分之值等于2.證明：設(shè)與軸夾角為，與軸的夾角為，則于是,并設(shè)曲線上的點(diǎn)為,曲線外一點(diǎn)為，則所以=令，則有，因而,的偏導(dǎo)數(shù)除去點(diǎn)外，在全平面上是連續(xù)的，且于是，利用Green公式，當(dāng)點(diǎn)在外一點(diǎn)時(shí)，有當(dāng)在內(nèi)時(shí)，則在內(nèi)以為圓心，以為半徑作一小圓，即得即=即=9．計(jì)算Gauss積分，其中為簡(jiǎn)單封閉光滑曲面，為曲面上在點(diǎn)（）處的外法向，.試對(duì)下列兩種情形進(jìn)行討論：（1）曲面包圍的區(qū)域不含點(diǎn)；（2）曲面包圍的區(qū)域含點(diǎn).解：設(shè)的方向余旋為cos,cos,cos，則而：，，，所以，由

6、于，，這些偏導(dǎo)數(shù)除去即點(diǎn)外。在全空間是連續(xù)的，且++=0于是（1）當(dāng)曲面所包圍的區(qū)域不含點(diǎn)時(shí)，由Gauss公式有（2）當(dāng)則曲面所包圍的區(qū)域含點(diǎn)時(shí)，在內(nèi)以為球心，以為半徑作小球面，由Gauss公式=10．求證,其中是包圍的分片光滑封閉曲面，為的外法線方向，,.分下兩種情形進(jìn)行討論：（１）中不含原點(diǎn)（２）中含原點(diǎn)時(shí),令，其中是以原點(diǎn)為心，以為半徑的球.證明：（1）其中為的方向余旋，因此,利用Gauss公式,得==所以:（2）對(duì)封閉區(qū)域應(yīng)用Gauss公式,可得，但在上，，于是，令取極限，即得：=11.利用Gauss公式變換下列積分:（1）（2）,其中是曲面的外法線方向余弦.解:（1）==0（

7、2）==12．設(shè)，是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，并設(shè)證明：（1）；（2）；（3）.其中為閉曲線所圍的平面區(qū)域,為沿外法線的方向?qū)?shù).證明:(1)（2）令，則，所以：由Green公式有：所以：（3）由（2）已證知：后式減去前式得：=-（該公式稱為Green第二公式）13．設(shè)++，是的邊界曲面，證明：（1）（2）式中在及其邊界曲面上有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，為沿曲面的外法線的方向?qū)?shù).證明：（1）=（2）14、計(jì)算下列曲線積分：(1),其中是下側(cè)；解：補(bǔ)充