排列組合與概率概率問題辨析

《排列組合與概率概率問題辨析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、高考前排列組合與概率概率易錯問題辨析一、交點：圓內(nèi)還是圓外例1.圓周上有12個不同的點，過其中任意兩點作弦，這些弦在圓內(nèi)的交點個數(shù)是______錯解：因為兩條直線相交有且只有一個交點，從12個點中任取2個可確定條直線，從剩下10個點中任取2個可確定條直線，根據(jù)乘法原理，有個交點。這里錯誤的原因在于這些直線所產(chǎn)生的交點有可能在圓外了，而題目要求這些交點在圓內(nèi)。正解：因為兩條直線相交有且只有一個交點，任意一個凸四邊形在圓內(nèi)的交點即為兩條對角線的交點，有且只有一個。而要得到一個四邊形，需要從12個點中取出4個點，個，即有個交點。問題：若

2、“圓內(nèi)”改成“圓外”，其他不變，則交點個數(shù)是多少？（答案：）或二、相鄰不相鄰問題：不重不漏例2.8人排成一隊，A、B、C三人互不相鄰，D、E兩人也互不相鄰的排法共有多少種？錯解：第一步：把除A、B、C、D、E的剩余F、G、H3人全排列，有種方法；第二步：前3人排好后，留下4個空檔，把A、B、C三人插入，有種方法；第三步：前6人排好后，留下7個空檔，把D、E兩人插入空檔，有種方法。由乘法原理，有種方法。則題意，“ADB”排法也滿足題意，但按照以上排法，A、B之間早就有F或G或H了，而不可能出現(xiàn)“ADB”，違反“不重不漏”中的“不漏”

3、原則。正解：用排除法。除A、B、C外的5人先全排列，有種方法，這時在留下的6個空檔中插入A、B、C三人，有種插空方法，共有種方法；其中應(yīng)排除D、E兩人相鄰的情形，把D、E（運用“捆綁法”看作一個個體），F(xiàn)、G、H（F、G、H為余下的三人）全排列，有種方法，這時在留下的5個空檔中插入A、B、C三人，有種方法，DE也可交換成ED，共有種方法。所求排法有＝14400－2880＝11520種。例3.有20個零件，其中16個是一等品，4個二等品。若從20個零件中任取3個，那么至少有1個是一等品的概率是_____________。A.B.C.

4、D.以上都錯錯解：選項A中表示只取1個一等品，而題目要求取一等品1個、或2個、或3個，有三種情形；C中表示只取2個一等品，表示只取3個一等品，即只取2個或3個一等品，與題目不符。B中表示從16個一等品中先取1個一等品，表示再從剩下的19個零件中取2個，這時似乎能保證所取的3個零件中至少有1個是一等品。若設(shè)1、2、…、16表示16個一等品，A、B、C、D表示4個二等品，可能出現(xiàn)1、2、A形式（先取一等品1，再從剩下的19個零件中取2、A），也可能出現(xiàn)2、1、A形式（先取一等品2，再從剩下的19個零件中取1、A），違反“不重不漏”中的

5、“不重”原則。正解：在選項A的基礎(chǔ)上增加先從16個一等品中取2個，再從4個二等品取1個，和從16個一等品中取3個，有種取法，答案應(yīng)為，選D。也可以運用排除法，“至少有1個是一等品”的反面是“沒有一個一等品”，即3個都是二等品，有，答案為，選D。三、抽取問題：放回與不放回例4.從一批含有13只正品、2只次品的產(chǎn)品中，不放回地抽取3次，設(shè)抽得的次品數(shù)為，求E（5＋1）。錯解一：隨機(jī)變量服從二項分布B（n，p），這里獨立重復(fù)試驗的次數(shù)n＝3，在一次試驗中事件（次品）發(fā)生的概率，得。分析：若變量是離散型隨機(jī)變量，才服從二項分布，才會有公式

6、E（）＝np，那么怎么樣的變量才是離散型的呢？對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，像這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。若在一次隨機(jī)試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)則是一個隨機(jī)變量。如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率p(＝k)，其中k＝0；1，…，n，，稱這樣的隨機(jī)變量服從二項分布，記作~B（n，p）。上面式子，形式上為二項式定理中的第項，所以稱服從二項分布。由上可以看出，二項分布

7、的必要條件是隨機(jī)變量必須是獨立的，而本題中變量與前后有關(guān)系，是不獨立的，所以題中的變量不服從二項分布，不能用E（）＝np來算。錯解二：因為不放回地取，先組合再排列，所以，，，得，分析：對于＝1這種情形，表示從13只正品中取一只正品后（不放回），再接著從剩下的12只正品中取一只正品（不放回）。表示從2只次品取1只次品。這時，對這3只產(chǎn)品作全排列，得。其實，13只正品被抽取的機(jī)會是均等的，取得的2只正品前后沒有關(guān)系，應(yīng)視作一種情形，只要看1只次品所取的位置，所以，同理，問題：若原題中“不放回”改為“放回”，其他不變，求。分析：對于這種

8、情形，表示從13只正品中取一只正品（放回），再接著從13只正品中取一只正品（放回）。表示從2只次品中取1只次品。這時再考慮次品所取的位置，共有×3種取法，所以。同理：，四、倒球、顏色相同與不同例5.從裝有4粒大小、形狀相同、顏色不同的玻璃球的瓶中，