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《含參量反常積分的一致收斂發(fā)判別法及推廣》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、含參量反常積分的一致收斂發(fā)判別法及推廣安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院2012屆畢業(yè)論文含參量反常積分的一致收斂判別法及推廣作者：蔣碧希指導老師：張海摘要本文主要介紹了含參量反常積分（含參量無窮限反常積分、含參量瑕積分）的基本概念、性質(zhì).然后參照無窮限反常積分的方法建立了相應的含參量瑕積分的一致收斂性.最后結(jié)合例題說明其在解題中的應用.關(guān)鍵詞含參量無窮限反常積分含參量瑕積分一致收斂1引言對于含參量無窮限反常積分的基本概念、性質(zhì)、一致收斂性判別法大部分教材都有詳細論述.而忽視了含參量瑕積分的一致收斂性的判定,其實兩者之間是同中有異的.本文主要參照無窮限反常積分的方法建立相應的含參
2、量瑕積分的一致收斂判別法，并探究其在解題中的應用.2含參量無窮限反常積分的一致收斂判別法2.1含參量無窮限反常積分的定義設函數(shù)f(x,y)定義在無界區(qū)域R?{(x,y)
3、a?x?b,c?y???}上，若對每一個固定的x?[a,b]，反常積分???cf(x,y)dy(1)都收斂，則它的值是x在[a,b]上取值的函數(shù)，當這個函數(shù)為I(x)時，則有??I(x)??cf(x,y)dy,x?[a,b],(2)稱(1)式為定義在[a,b]上的含參量x的無窮限反常積分，或簡稱含參量反常積分.2.2含參量反常積分的一致收斂概念若含參量反常積分(1)與I(x)對任給的正數(shù)?，總存在某一實數(shù)N?
4、c，使得當M?N時，對一切x?[a,b]，都有?即Mcf(x,y)dy?I(x)??,共15頁安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院2012屆畢業(yè)論文???致收斂.Mf(x,y)dy??，則稱含參量反常積分(1)在[a,b]一致收斂于I(x)，或簡單地說含參量積分(1)在[a,b]上一2.3含參量無窮限反常積分一致收斂的柯西準則含參量反常積分(1)在[a,b]上一致收斂的充要條件是：對任給的正數(shù)?，總存在某一實數(shù)M?c，使得當A1,A2?M時，對一切x?[a,b]，都有?A2Af(x,y)dy??,1證明（必要性）由于含參量反常積分(1)在[a,b]上一致收斂，???0,?M?0,?
5、A1,A2?M時，使得?x?[a,b]時，有???Af(x,y)dy??1,且???Af(x,y)dy??2由?A2Af(x,y)dy?(x,y)dy?1???Af1???Af(x,y)dy2????Af(x,y)dy?f(x,y)dy1???A2??????可知：???0,?M?0，當A1,A2?M時，有?A2Af(x,y)dy??.1（充分性)因為???0，總存在某一實數(shù)M?c，使得A1,A2?M時，對一切x?[a,b]，都有?A2Af(x,y)dy??,1當A2???時，有共15頁(3)則對安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院2012屆畢業(yè)論文???故A1f(x,y)dy??
6、成立.???在[a,b]?[A1,??)上是一致收斂的.又因為A1f(x,y)dy?其中??cf(x,y)dy??f(x,y)dy??cA1??A1f(x,y)dy,?A1cf(x,y)dy是含參量正常積分，故一致收斂.??c所以?f(x,y)dy在[a,b]?[c,??)上是一致收斂的.2.4含參量無窮限反常積分一致收斂性與函數(shù)項級數(shù)一致收斂的聯(lián)系定理2.4.1含參量反常積分(1)在[a,b]上一致收斂的充要條件是：對任一趨于??的遞增數(shù)列{An}（其中A1?c），函數(shù)項級數(shù)??n?1?An?1Anf(x,y)dy??un(x)(4)n?1?在[a,b]上一致收斂.證明(必
7、要性）由(1)在[a,b]上一致收斂，故對任給??0，必存在M?c，使當A"?A'?M時，對一切x?[a,b]，總有?A"A'f(x,y)dy??.(5)又由An???(n??)，所以對正數(shù)M,存在正整數(shù)N,只要當m?n?N時，就有Am?An?M.由(5)對一切x?[a,b]，就有un(x)???um(x)???Am?1Amf(x,y)dy????An?1Anf(x,y)dy?Am?1Anf(x,y)?y?.這就證明了級數(shù)(4)在[a,b]上一致收斂.(充分性)用反證法.假若(1)在[a,b]上不一致收斂，則存在某個正數(shù)?0，使得共15頁安慶師范學院數(shù)學與計算
8、科學學院2012屆畢業(yè)論文"'對于任何實數(shù)M?c，存在相應的A?A?M和x'?[a,b]，使得?A"'Af(x',y)dy??0,現(xiàn)取M1?max{1,c}，則存在A2?A1?M1及x1?[a,b]，使得?A2A1f(x1,y)dy??0一般的，取Mn?max{n,A2n?1}(n?2)，則有A2n?A2n?1?Mn及xn?[a,b]，使得?A2nA2n?1f(xn,y)dy??0(6)n??由上述所得到的數(shù)列{An}是遞增數(shù)列，且limAn???.現(xiàn)在考察級數(shù)?un(x
