一道高考數(shù)學(xué)試題的解法探究及教學(xué)思考

《一道高考數(shù)學(xué)試題的解法探究及教學(xué)思考》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、7試題研究·中數(shù)高中2009年第9期發(fā)稿·杜安利一道高考數(shù)學(xué)試題的解法探究及教學(xué)思考馬興奎（云南省昭通市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）題目：雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l1、l2，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交l1、l2于A、B兩點(diǎn).已知、、成等差數(shù)列，且與同向.（1）求雙曲線的離心率；（2）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程.一、試題分析本題是2008年高考數(shù)學(xué)全國卷I文科第22題（理科第21題），是主要考查解析的幾何基本思想和基本方法的壓軸題，看似平凡，其實(shí)是一道可以用來歸納求解離心率的常用方法

2、和技巧的好題，對啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維，拓寬學(xué)生的解題思路很有幫助。其命題意圖是考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和方程的思想?？忌踝x題目，感覺常規(guī)，下筆卻困難重重。原因是試題的第（1）問對考生的思維能力要求較高，許多考生草讀一遍題意，便下筆求解A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然一些考生能夠正確求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，接下來計(jì)算和還較容易，但計(jì)算由于計(jì)算量大，陷入解題困境，部分考生算出了一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的結(jié)果；部分考生甚至算了半天也計(jì)算不出結(jié)果，最后心慌，放棄此題。本文以此題為載體，引導(dǎo)學(xué)生一題多解，發(fā)散思維，并引發(fā)了幾點(diǎn)思考，旨在

3、與同行交流。OxyFAB圖1二、第（1）問解法探究分析：如圖1所示，設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0，b＞0)，右焦點(diǎn)為F(c,0)(c＞0)，則c2=a2+b2.不妨設(shè)l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0，依題意==b，==a，由知，只需求出的值即可，可用多種思維建立a與b的關(guān)系。解法1（坐標(biāo)法）:由已知知直線AB的方程為，聯(lián)立解得，聯(lián)立解得。因?yàn)榕c同向57試題研究·中數(shù)高中2009年第9期發(fā)稿·杜安利，所以a＞b,所以，，。又因?yàn)椤?、成等差?shù)列，所以，可得a=2b，所以?！军c(diǎn)評】聯(lián)立消元和坐標(biāo)運(yùn)算是解決解析幾何問題的核

4、心，也是常規(guī)解題思想和方法，但往往由于涉及字母較多，計(jì)算量大，運(yùn)算技巧強(qiáng)，使得許多學(xué)生“易想難算”，望而生畏，產(chǎn)生恐懼心里，因此，對學(xué)生而言是一項(xiàng)艱巨的考驗(yàn)。解法2（勾股定理）:因?yàn)?，又由已知知，，?lián)立可得，所以=tan∠AOB，因?yàn)榕c同向，所以∠AOB=2∠AOF，即，解得tan∠AOF=或tan∠AOF=-2（舍去），因此。以下略?！军c(diǎn)評】事實(shí)上，由知，只需求出的值即可，進(jìn)而尋找a與b之間的關(guān)系，而恰為漸近線l1的斜率，由斜率的定義得=tan∠AOF，再往下思考，會自然想到∠AOB=2∠AOF，通過求出tan∠AOB=

5、的值再計(jì)算，這樣思路自然，迅速解答。解法3（方程思想）:由已知得解得：：=3：4：5。設(shè)=3k，=4k，=5k，k＞0，則可求得tan∠AOB=，進(jìn)而tan∠AOF=，即。以下略?！军c(diǎn)評】在解法2的思維的啟發(fā)下，利用已知建立三元方程組，從而可以得到、、中的任何兩個(gè)或三個(gè)的比值關(guān)系，這個(gè)解法較為簡捷，也激發(fā)了學(xué)生思維智慧的火花。解法4（三角法）:設(shè)∠AOF=θ，則∠AOB=2θ，由得57試題研究·中數(shù)高中2009年第9期發(fā)稿·杜安利，在Rt△AOB中，，，即，由萬能公式解得，即。以下略。【點(diǎn)評】此解法充分利用直角三角形中的三

6、角函數(shù)，把邊長的比值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的運(yùn)算，使學(xué)生思路開闊，熟練掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)思維的靈活性。解法5（角平分線定理）:依題意可知∠AOF=∠BOF。由三角形角平分線定理得，再利用比例性質(zhì)及得，即。以下略?！军c(diǎn)評】此解法用到了初中數(shù)學(xué)中的知識，顯示了初中、高中數(shù)學(xué)知識的連貫性，利用兩條漸近線關(guān)于實(shí)軸對稱的特點(diǎn)和三角形角平分線定理建立簡潔的比例關(guān)系進(jìn)行求解。解法6（設(shè)而不求）:不妨設(shè)l1：，l2：，直線AB的方程為，又設(shè)，，則x2＞x1,，，所以。由得①。直線AB的斜率②，聯(lián)立①②得。以下略。OxyFAB圖2H【

7、點(diǎn)評】利用點(diǎn)在曲線上的性質(zhì)，對點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行相關(guān)設(shè)法，設(shè)而不求和整體消元是解析法的重要思想和方法，可以簡化很多繁瑣的運(yùn)算。解法7（幾何法）:如圖2所示，過點(diǎn)B作x軸的平行線交漸近線l1于點(diǎn)H，根據(jù)兩條漸近線關(guān)于y軸對稱的性質(zhì)，由得，且∠AOF=∠AHB。在Rt△BAH中，tan∠AHB=，即tan∠AOF=。以下略?！军c(diǎn)評】此解法充分利用幾何圖形的性質(zhì)及特點(diǎn)，巧妙地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而簡化運(yùn)算。這種解決問題的思想凸顯解析幾何的核心問題之一——幾何問題。三、第（2）問解法探究57試題研究·中數(shù)高中2009年第9期發(fā)稿·杜安利分析：由

8、（1）知a=2b，雙曲線的方程可化為x2-4y2=4b2①。由l1的斜率為，知，直線AB的方程為,代入①并化簡得.由已知。設(shè)直線AB與雙曲線交于C(x1，y1)，D(x2，y2)兩點(diǎn)，則，，下面可用3種解法計(jì)算。解法1：AB被雙曲線所截得的線段的長為，解之得b=3，從而a=6，所以雙曲線的方程為=1。解