統(tǒng)計技術(shù)和抽樣技術(shù)

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1、第二章統(tǒng)計技術(shù)和抽樣技術(shù)第二章統(tǒng)計技術(shù)和抽樣技術(shù)第一節(jié)統(tǒng)計技術(shù)基本概念一、隨機(jī)變量的基本概念1、事件和隨機(jī)事件觀測或試驗(yàn)的一種結(jié)果，稱為一個事件。例如：明天的天氣是晴天、陰天還是雨天，這三種可能性中的每一種都稱為事件。又如：測量工件的直徑所得的結(jié)果為9.91mm，9.92mm，9.93mm…，這里每個可能出現(xiàn)的測量結(jié)果都稱為事件。與測量結(jié)果相聯(lián)系的不確定度是事件；若工作直徑的真值已知，則相應(yīng)的每一個誤差也稱為事件。在客觀世界中，我們可以把事件大致分為確定性和不確定性兩類。向上拋一石子必然下落，純水在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下加熱到100℃時必然沸騰等，均屬肯定事件或確定性

2、事件。拋擲一枚硬幣的結(jié)果可能正面朝上、也可能反面朝上，打靶的結(jié)果可能射中，也可能射不中等，均屬可疑事件或不確定性事件。確定性事件有著內(nèi)在的規(guī)律，這一點(diǎn)我們比較容易看到和處理。而對于不確定性事件，雖然就每次觀測或試驗(yàn)結(jié)果來看是可疑的，但在大量重復(fù)觀測或試驗(yàn)下卻呈現(xiàn)某種規(guī)律性（統(tǒng)計規(guī)律性）。例如：多次重復(fù)拋擲一枚硬幣，會發(fā)現(xiàn)正面朝上與反面朝上的次數(shù)大致相等。概率論和數(shù)理統(tǒng)計就是從兩個不同側(cè)面，來研究這類不確定性事件的統(tǒng)計規(guī)律性。在概率統(tǒng)計中，把客觀世界可能的事件區(qū)分為最典型的三種情況：①必然事件。在一定條件下必然出現(xiàn)的事件，例如工件直徑的測量結(jié)果為正，是必然事件

3、。②不可能事件。在一定條件下不可能出現(xiàn)的事件，例如工件直徑的測量結(jié)果為零或負(fù)值，都是不可能事件。③隨機(jī)事件。在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件，例如工件直徑的測量結(jié)果出現(xiàn)在9.91mm與9.92mm之間，是一個隨機(jī)事件。隨機(jī)事件即是隨機(jī)現(xiàn)象的某種結(jié)果。2、隨機(jī)變量如果某一量（例如測量結(jié)果）在一定條件下，取某一值或在某一范圍內(nèi)取值是一個隨機(jī)事件，則這樣的量稱作隨機(jī)變量。隨機(jī)變量不同于其他變量，其特點(diǎn)是以一定的概率在一定的區(qū)間上取值或取某一個固定值。例如：工件直徑的測量結(jié)果在（9.90～9.92mm）區(qū)間上取值的概率為0.9。由前所述可知，測量結(jié)果及其不確定

4、度均為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量根據(jù)其取值的特征可以分為兩種：①連續(xù)型隨機(jī)變量。若隨機(jī)變量X可在坐標(biāo)軸上某一區(qū)間內(nèi)取任一數(shù)值，即取值布滿區(qū)間或整個實(shí)數(shù)軸，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。例如：重復(fù)測量工件直徑中所得的一組觀測值屬于連續(xù)型隨機(jī)變量。②離散型隨機(jī)變量。若隨機(jī)變量X的取值可離散地排列為x1，x2…，而且X以各種確定的概率取這些不同的值，即只取有限個或可數(shù)個實(shí)數(shù)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。例如：在取有效數(shù)字的位數(shù)時，數(shù)字的舍入誤差屬于離散型隨機(jī)變量。3、事件的概率隨機(jī)事件的特點(diǎn)是：在一次觀測或試驗(yàn)中，它可能出現(xiàn)、也可能不出現(xiàn)，但是在大量重復(fù)的觀測或試驗(yàn)中呈現(xiàn)統(tǒng)計規(guī)律

5、性。例如：在連續(xù)n次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了m2-17第二章統(tǒng)計技術(shù)和抽樣技術(shù)次，m稱為事件的頻數(shù)，m/n則稱為事件的相對頻數(shù)或頻率，當(dāng)n極大時，頻率m/n穩(wěn)定地趨于某一個常數(shù)p，此常數(shù)p稱為事件A的概率，記為P（A）=p。這就是概率的古典定義。概率p是用以度量隨機(jī)事件A出現(xiàn)的可能性大小的數(shù)值。必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，隨機(jī)事件的概率P（A）為0≤P（A）≤1。所以，必然事件和不可能事件是隨機(jī)事件的兩種極端情況或特例。概率可以通過一定的法則進(jìn)行運(yùn)算。4、分布函數(shù)隨機(jī)變量的特點(diǎn)是以一定的概率取值，但并不是所有的觀測或試驗(yàn)都能以一定的概率取某一個

6、固定值。例如：重復(fù)測量某圓柱體直徑時，作為被測量最佳估計值的測量結(jié)果是隨機(jī)變量，記為X，它所取的可能值是充滿某一個區(qū)間的（并非某一個固定值），此時人們所關(guān)心的問題是：它落在該區(qū)間的概率是多少？即P[a≤X≤b]=?根據(jù)概率加法定理有P[a≤X≤b]=P[X＜b]－P[X＜a]顯然，只要求出P[X＜b]及P[X＜a]即可，這要比求P[a≤X≤b]簡便得多，因?yàn)樗鼈冎灰蕾囉谝粋€參數(shù)。對于任何實(shí)數(shù)x，事件[X＜x]的概率當(dāng)然是一個x的函數(shù)。令F（x）=P[X＜x]，顯然有F（－∞）=0，F(xiàn)（+∞）=+1，這里F（x）即為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。所以，分布函數(shù)F（x）

7、完全決定了事件[a≤X≤b]的概念，或者說分布函數(shù)F（x）完整地描述了隨機(jī)變量X的統(tǒng)計特性。二、隨機(jī)變量的數(shù)字特征利用分布函數(shù)可以完全確定一個隨機(jī)變量，但在實(shí)際問題中求分布函數(shù)不僅十分困難，而且常常沒有必要。例如：測量零件的長度得到了一系列的觀測值，人們往往只需要知道零件長度這個隨機(jī)變量的一些特征量就夠了，諸如長度的平均值（近似地代表長度的真值）及測量標(biāo)準(zhǔn)（偏）差（觀測值對平均值的分散程度）。用一些數(shù)字來描述隨機(jī)變量的主要特征，顯然十分方便、直觀、實(shí)用，在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中就稱它們?yōu)殡S機(jī)變量的數(shù)字特征。這些特征量有數(shù)字期望、方差、矩等。1、數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量X

8、的數(shù)學(xué)期望值記為E（X）或簡記為μx，用它可以表示隨