數(shù)學(xué)建模方法詳解--三種最常用算法

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1、數(shù)學(xué)建模方法詳解--三種最常用算法一、層次分析法層次分析法[1](analytichierarchyprocess，AHP)是美國著名的運(yùn)籌學(xué)家T．L．Saaty教授于20世紀(jì)70年代初首先提出的一種定性與定量分析相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策方法[2，3，4]．該方法是社會、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)決策的有效工具，目前在工程計(jì)劃、資源分配、方案排序、政策制定、沖突問題、性能評價等方面都有廣泛的應(yīng)用．(一)層次分析法的基本原理層次分析法的核心問題是排序，包括遞階層次結(jié)構(gòu)原理、測度原理和排序原理[5]．下面分別予以介紹．1．遞階層次結(jié)構(gòu)原理

2、一個復(fù)雜的結(jié)構(gòu)問題可以分解為它的組成部分或因素，即目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等．每一個因素稱為元素．按照屬性的不同把這些元素分組形成互不相交的層次，上一層的元素對相鄰的下一層的全部或部分元素起支配作用，形成按層次自上而下的逐層支配關(guān)系．具有這種性質(zhì)的層次稱為遞階層次．2．測度原理決策就是要從一組已知的方案中選擇理想方案，而理想方案一般是在一定的準(zhǔn)則下通過使效用函數(shù)極大化而產(chǎn)生的．然而對于社會、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的決策模型來說，常常難以定量測度．因此，層次分析法的核心是決策模型中各因素的測度化．3．排序原理層次分析法的排序問題，實(shí)質(zhì)

3、上是一組元素兩兩比較其重要性，計(jì)算元素相對重要性的測度問題．38(二)層次分析法的基本步驟層次分析法的基本思路與人對一個復(fù)雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一致的[1]．1．成對比較矩陣和權(quán)向量為了能夠盡可能地減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高結(jié)果的準(zhǔn)確度．T．L．Saaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對比，二是對比時采用相對尺度．假設(shè)要比較某一層個因素對上層一個因素的影響，每次取兩個因素和，用表示和對的影響之比，全部比較結(jié)果可用成對比較陣表示，稱為正互反矩陣．一般地，如果一個

4、正互反陣滿足：（1）則稱為一致性矩陣，簡稱一致陣．容易證明階一致陣有下列性質(zhì)：①的秩為1，的唯一非零特征根為；②的任一列向量都是對應(yīng)于特征根的特征向量．如果得到的成對比較陣是一致陣，自然應(yīng)取對應(yīng)于特征根的、歸一化的特征向量（即分量之和為1）表示諸因素對上層因素的權(quán)重，這個向量稱為權(quán)向量．如果成對比較陣不是一致陣，但在不一致的容許范圍內(nèi)，用對應(yīng)于最大特征根(記作)的特征向量（歸一化后）作為權(quán)向量，即滿足：（2）38直觀地看，因?yàn)榫仃嚨奶卣鞲吞卣飨蛄窟B續(xù)地依賴于矩陣的元素，所以當(dāng)離一致性的要求不遠(yuǎn)時,的特征根和特

5、征向量也與一致陣的相差不大．（2）式表示的方法稱為由成對比較陣求權(quán)向量的特征根法．2．比較尺度當(dāng)比較兩個可能具有不同性質(zhì)的因素和對于一個上層因素的影響時，采用Saaty等人提出的尺度，即的取值范圍是及其互反數(shù)．3．一致性檢驗(yàn)成對比較陣通常不是一致陣，但是為了能用它的對應(yīng)于特征根的特征向量作為被比較因素的權(quán)向量，其不一致程度應(yīng)在容許范圍內(nèi)．若已經(jīng)給出階一致陣的特征根是，則階正互反陣的最大特征根，而當(dāng)時是一致陣．所以比大得越多，的不一致程度越嚴(yán)重，用特征向量作為權(quán)向量引起的判斷誤差越大．因而可以用數(shù)值的大小衡量的不

6、一致程度．Saaty將(3)定義為一致性指標(biāo)．時為一致陣；越大的不一致程度越嚴(yán)重．注意到的個特征根之和恰好等于，所以相當(dāng)于除外其余個特征根的平均值．為了確定的不一致程度的容許范圍，需要找到衡量的一致性指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，又引入所謂隨機(jī)一致性指標(biāo)，計(jì)算的過程是：對于固定的，隨機(jī)地構(gòu)造正互反陣，然后計(jì)算的一致性指標(biāo)．123456789101138000．580．901．121．241．321．411．451．491．51表1隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表中時，是因?yàn)殡A的正互反陣總是一致陣．對于的成對比較陣，將它的一致性指標(biāo)與同階（

7、指相同）的隨機(jī)一致性指標(biāo)之比稱為一致性比率，當(dāng)(4)時認(rèn)為的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量．對于利用(3)，(4)式和表1進(jìn)行檢驗(yàn)稱為一致性檢驗(yàn)．當(dāng)檢驗(yàn)不通過時，要重新進(jìn)行成對比較，或?qū)σ延械倪M(jìn)行修正．4．組合權(quán)向量由各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)向量和各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)向量，計(jì)算各方案對目標(biāo)的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向量．一般地，若共有層，則第層對第一層（設(shè)只有個因素）的組合權(quán)向量滿足：（5）其中是以第層對第層的權(quán)向量為列向量組成的矩陣．于是最下層對最上層的組合權(quán)向量為:（6）5．組合一致性檢驗(yàn)在應(yīng)用層次分

8、析法作重大決策時，除了對每個成對比較陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)外，還常要進(jìn)行所謂組合一致性檢驗(yàn)，以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決策依據(jù)．38組合一致性檢驗(yàn)可逐層進(jìn)行．如第層的一致性指標(biāo)為(是第層因素的數(shù)目)，隨機(jī)一致性指標(biāo)為，定義則第層的組合一致性比率為:(7)第層通過組合一致性檢驗(yàn)的條件為．定義最下層(第層)對第一層的組合一致性比率為：(8)對于重大項(xiàng)目，僅當(dāng)適當(dāng)?shù)匦r，才認(rèn)為整個層次的比