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《三 角 函 數(shù) 的 最 大 值 與 最 小 值》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、三角函數(shù)的最大值與最小值湖南省南縣一中陳敬波(hncjbcjb@sohu.com)(413200)三角函數(shù)的最值問題是對(duì)三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式、同角間的基本關(guān)系、兩角的和與差公式的綜合考查,也是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)．解決三角函數(shù)的最值問題可通過適當(dāng)?shù)娜亲儞Q或代數(shù)換元,化歸為某種三角函數(shù)或代數(shù)函數(shù),再利用三角函數(shù)的有界性或常用的求函數(shù)最值的方法去處理,通常有以下六種類型．（１）（或）型的函數(shù)此類函數(shù)利用（或）即可求解,顯然這里．例1．求的最大值與最小值．解：（若不要求記憶和差與積互化公式,則按下列解法）解：（２）型的函數(shù)此類函數(shù)可轉(zhuǎn)化為其中輔助角所在的象限由a,b的
2、符號(hào)確定,角的值由確定．例2．當(dāng)時(shí),函數(shù)的（ ?。粒∽畲笾凳牵?最小值是－１?。拢∽畲笾凳牵?最小值是－１Ｃ． 最大值是２,最小值是－２ Ｄ． 最大值是２,最小值是－１解析：故選（Ｄ）（１）型的函數(shù)此類函數(shù)可先降次,再整理轉(zhuǎn)化為的形式來解決．例3．求的最小值,并求y取最小值時(shí)的的集合．解：,∴當(dāng)即時(shí),y取最小值使y取最小值的x的集合為（２）型的函數(shù)此類函數(shù)可轉(zhuǎn)化為形如的二次函數(shù),從而討論其最值．例4.求函數(shù)(為定值)的最大值M.解:令,則如下圖(1)若-a<-1,即a>1,則當(dāng)t=-1時(shí),有最大值M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;(2)若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1
3、,則當(dāng)t=-a時(shí),有最大值M=a2-a+1;(3)若-a>1,即a<-1,則當(dāng)t=1時(shí),有最大值M=-3a.注:本例借助函數(shù)思想,把所求的問題轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題.（１）型的函數(shù)此類函數(shù)可轉(zhuǎn)化為去處理,或利用萬能公式換元后用判別去處理.例5.求下列函數(shù)的最大值與最小值.解：（1）原函數(shù)可變形為即又故所求最小值與最大值分別為：（2）原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為則解得（２）巧用換元法轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的最值問題①對(duì)于含有的函數(shù)的最值問題，常用的解決方法是令,將轉(zhuǎn)化為t的關(guān)系式，最終化歸為二次函數(shù)或其他函數(shù)的最值問題.例6.已知,求函數(shù)的最值解:設(shè),則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),例7.求函數(shù)的最大值
4、與最小值.解:令:則且原函數(shù)變?yōu)?則①首先利用換元法轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.例8.已知,求的最小值.解析:令則由函數(shù)的單調(diào)性的定義易證在上是減函數(shù),
