高三數(shù)學第二專題講座復習：直線與圓錐曲線問題的處理方法(2)

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1、高三數(shù)學第二輪專題講座復習：直線與圓錐曲線問題的處理方法(2)高考要求直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能重難點歸納1直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法2當直線與圓錐曲線相交時涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設(shè)而

2、不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍典型題例示范講解例1如圖，已知某橢圓的焦點是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且

3、F1B

4、+

5、F2B

6、=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件

7、F2A

8、、

9、F2B

10、、

11、F2C

12、成等差數(shù)列(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍

13、命題意圖本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識，一、二問較簡單，第三問巧妙地借助中垂線來求參數(shù)的范圍，設(shè)計新穎，綜合性，靈活性強知識依托橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法錯解分析第三問在表達出“k=y0”時，忽略了“k=0”時的情況，理不清題目中變量間的關(guān)系技巧與方法第一問利用橢圓的第一定義寫方程；第二問利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解，第三問利用m表示出弦AC的中點P的縱坐標y0,利用y0的范圍求m的范圍解(1)由橢圓定義及條件知，2a=

14、F1B

15、+

16、F2B

17、=10,得a=5,又c=4,所以b==3故橢圓方程為=1(2)由點B(4,yB)在橢圓

18、上，得

19、F2B

20、=

21、yB

22、=因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有

23、F2A

24、=(－x1),

25、F2C

26、=(－x2)，由

27、F2A

28、、

29、F2B

30、、

31、F2C

32、成等差數(shù)列，得(－x1)+(－x2)=2×,由此得出x1+x2=8設(shè)弦AC的中點為P(x0,y0),則x0==4(3)解法一由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上得①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,即9×=0(x1≠x2)將(k≠0)代入上式，得9×4+25y0(－)=0(k≠0)即k=y0(當k=0時也成立)由點P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y

33、0－4k=y0－y0=－y0由點P(4，y0)在線段BB′(B′與B關(guān)于x軸對稱)的內(nèi)部，得－＜y0＜,所以－＜m＜例2若拋物線上總存在關(guān)于直線對稱的兩點，求的范圍解法一（對稱曲線相交法）曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程為如果拋物線上總存在關(guān)于直線對稱的兩點，則兩曲線與必有不在直線上的兩個不同的交點(如圖所示)，從而可由∵　　∴　代入得　有兩個不同的解，∴　解法二（點差法）設(shè)拋物線上以為端點的弦關(guān)于直線對稱，且以為中點是拋物線（即）內(nèi)的點從而有　由(1)-(2)得　∴　由從而有　例3　試確定的取值范圍，使得橢圓上有不同兩點關(guān)于直線對稱解設(shè)橢圓上以為端點的弦關(guān)于直線對稱，且以為

34、中點是橢圓內(nèi)的點從而有　由(1)-(2)得　∴　由由在直線上從而有　例4　已知直線過定點A(4,0)且與拋物線交于P、Q兩點，若以PQ為直徑的圓恒過原點O，求的值解可設(shè)直線的方程為代入得　設(shè)，則由題意知，OP⊥OQ，則即　∴此時，拋物線的方程為學生鞏固練習1在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(2，1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是_________2已知兩點M(1，)、N(－4，－)，給出下列曲線方程①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線上存在點P滿足

35、MP

36、=

37、NP

38、的所有曲線方程是_________3已知雙曲線C的兩條漸近線都過原

39、點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A1與A點關(guān)于直線y=x對稱(1)求雙曲線C的方程(2)設(shè)直線l過點A，斜率為k,當0＜k＜1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標參考答案:1解析設(shè)所求直線與y2=16x相交于點A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2)即kAB=8故所求直線方程為y=8x－15答案8x－y－15=02解析點P在線段MN的垂直平分線上，判