數(shù)學(xué)競賽趣味題目

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1、廣東博文學(xué)校奧數(shù)培訓(xùn)中心六年級教材第一章五猴分桃1有5只猴子分一堆桃子，可是怎么也平分不了。于是大家先去睡覺，明天再說。夜里，一只猴子偷偷起來，吃了一個(gè)桃子，剩下的桃子正好分成相等5的份，它把自己的一份收藏起來就睡覺去了。又有一只猴子偷偷起來，也吃了一個(gè)桃子，所剩的桃子也剛好分成相等的5份，它把自己的一份收藏起來后也睡覺去了。另外三只猴子先后都照此辦理。問這堆桃子開始共有多少個(gè)？這個(gè)有趣的問題流傳很廣，有人還把它編成小故事登在報(bào)刊上，李政道博士在1979年春專程訪問中國科技大學(xué)少年班時(shí)，曾把這個(gè)趣題拿給少年大學(xué)生去解。根據(jù)題意，設(shè)桃子總數(shù)為

2、N，夜間每只猴子藏起的桃子數(shù)分別是A、B、C、D、E，可列出方程組：N＝5A＋14A＝5B＋14B＝5C＋14C＝5D＋14D＝5E＋1經(jīng)逐個(gè)代入，可得256N＝3125E＋2101要求這個(gè)不定方程的非負(fù)整數(shù)解，過程比較繁。特別是猴子數(shù)目比較大時(shí)，計(jì)算起來更費(fèi)事。著名數(shù)理邏輯學(xué)家懷德海有一個(gè)異乎尋常的想法，先求出負(fù)整數(shù)特解后，再求正整數(shù)解。設(shè)想，當(dāng)E＝－1時(shí)，由方程256N＝3125E＋2101得出N＝－4。由于桃子數(shù)N被連續(xù)5次分成5堆，因此，如果一個(gè)數(shù)是上述方程的特解，那么此數(shù)再加上面55后仍然是方程的解。既然－4是特解，于是－4＋55

3、也是解，于是，桃子總數(shù)是－4＋3125＝3121如何理解－4是特解呢？懷德海的解釋是：假定當(dāng)初有－4個(gè)桃子，一只猴子從中硬拿出一個(gè)吃掉，還剩下－4－1＝－5個(gè)桃子，分成5份，每份恰好是－1個(gè)桃子。私藏起一份之后，還剩－4個(gè)桃子，仍然回到?jīng)]有分以前的情況，照這樣的分法，不僅可分5次，能一直分下去。因此－4是個(gè)神奇的特解。這正是懷德海想法的異乎尋常之處。這個(gè)問題可以用還原法解答，依題意列方程，{【〔[（N－1）·－1]·－1〕·－1】·－1}·＝E其中N是桃子總數(shù)，E是第五次分得的每份數(shù)，逐次還原可得N＝{〔[（5E＋1）·＋1]·＋1〕·＋1

4、}·＋1博文奧數(shù)教材第２３頁廣東博文學(xué)校奧數(shù)培訓(xùn)中心六年級教材＝＋()4＋()3＋()2＋＋1＝＋＝＋＝由于4與5互質(zhì)，只有當(dāng)取得最小正整數(shù)1時(shí)，才能得Ｎ的最小正整數(shù)解，所以E＝44－1＝255N＝55－4＝3125－4＝3121在這個(gè)方法中，用到了公式an－1＝（an－1＋an－2＋…＋a＋1）（a－1）由此得()4＋()3＋()2＋＋1＝更一般地，an－bn＝（an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋abn－2＋bn－1）（a－b）下面是這個(gè)問題另一種簡單解法。設(shè)桃子總數(shù)為x，n只猴子自藏起來的桃子數(shù)依次為k1，k2，…，kn，得方程組

5、nk1＝x－1nk2＝（n－1）k1－1……nkn＝（n－1）kn－1－1從第二個(gè)方程開始，每個(gè)方程的等號兩邊都加上n，得n（k2＋1）＝（n－1）（k1＋1）n（k3＋1）＝（n－1）（k2＋1）……n（kn＋1）＝（n－1）（kn－1＋1）再把這些等式兩邊乘起來，得nn－1（kn＋1）＝（n－1）n－1（k1＋1）因?yàn)閷τ谌魏巫匀粩?shù)n，n－1的每個(gè)質(zhì)因數(shù)都不是n的因數(shù)，所以k1＋1必是nn－1的倍數(shù)。記作k1＋1＝k·nn－1將此式代入nk1＝x－1得博文奧數(shù)教材第２３頁廣東博文學(xué)校奧數(shù)培訓(xùn)中心六年級教材x＝n（nn－1k－1）＋1＝n

6、nk－（n－1）取k＝1，得最小正整數(shù)解為x＝nn－n＋1令n＝5，得本題中桃子總數(shù)為55－5＋1＝3121在這種解法中，我們推導(dǎo)出了一個(gè)一般公式x＝nn－n＋1對于任意的n（n＞2）只猴子的情況，只需將n代入公式，就可得桃子的總數(shù)。第二章四色問題1（國標(biāo)P108）畫在紙上的任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。圖1用數(shù)學(xué)語言表示，即“將平面任意分成不相重疊的區(qū)域，每一區(qū)域總可用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字之一來標(biāo)記，而不會使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字?！边@里所指的相鄰區(qū)域是指有一整段邊界是公共的，如果兩個(gè)區(qū)域只相遇

7、于一點(diǎn)或有限多個(gè)點(diǎn)，就不叫相鄰的，因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會引起混淆，如圖1。1852年，英國倫敦大學(xué)學(xué)生格思里（Guthrie）面對地圖發(fā)現(xiàn)：不論多么復(fù)雜的地圖，只須四種顏色便可將任何相鄰區(qū)域區(qū)分開。他把這一想法告訴他的哥哥。他們又就這個(gè)問題請教德·摩根（DeMorgan，1806～1871），試圖得到這一問題的證明。摩根沒能證出來，便將此事告訴了哈密爾頓（Hamilton，1805～1865），但他們始終沒有得到結(jié)果。1878年英國數(shù)學(xué)家凱萊（Cayley，1821～1895）在倫敦?cái)?shù)學(xué)會會刊上發(fā)表一篇文章，將上述問題歸結(jié)為“四色猜

8、想”。凱萊的文章引起了很大的反響。人們被這樣一個(gè)簡簡單單卻又解決起來困難重重的問題所吸引，一大批很有才華的人士踏上了探索奧秘的路途。大約在凱萊公開“四色猜想”后一年左右的時(shí)候，倫