樣條插值函數(shù)及應用

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1、樣條插值函數(shù)及應用2摘要樣條函數(shù)具有廣泛的應用，是現(xiàn)代函數(shù)論的一個十分活躍的分支，是計算方法的主要基礎(chǔ)和工具之一，由于生產(chǎn)和科學技術(shù)向前發(fā)展的推動以及電子計算機廣泛應用的需要，人們便更多地應用這個工具，也更深刻的認識了它的本質(zhì)。在實際問題中所遇到許多函數(shù)往往很復雜，有些甚至是很難找到解析表達式的。根據(jù)函數(shù)已有的數(shù)據(jù)來計算函數(shù)在一些新的點處的函數(shù)值，就是插值法所需要解決的問題。插值法是數(shù)值逼近的重要方法之一，它是根據(jù)給定的自變量值和函數(shù)值,求取未知函數(shù)的近似值。早在一千多年前,我國科學家就在研究歷法時就用到了線性插值和二次插值。而在實際問題中,有許多插值函數(shù)的

2、曲線要求具有較高的光滑性,在整個曲線中,曲線不但不能有拐點,而且曲率也不能有突變。因此，對于插值函數(shù)必須二次連續(xù)可微且不變號,這就需要用到三次樣條插值。關(guān)鍵詞三次樣條函數(shù)；插值法2目錄引言1第一章　三次樣條插值21.1樣條插值函數(shù)簡介21.2三次樣條函數(shù)應用3第二章　AMCM91A估計水塔水流量52.1理論分析及計算62.2運用MATLAB軟件計算9參考文獻142引言樣條函數(shù)具有廣泛的應用，是現(xiàn)代函數(shù)論的一個十分活躍的分支，是計算方法的主要基礎(chǔ)和工具之一，由于生產(chǎn)和科學技術(shù)向前發(fā)展的推動以及電子計算機廣泛應用的需要，人們便更多地應用這個工具，也更深刻的認識了

3、它的本質(zhì)。上世紀四十年代，在研究數(shù)據(jù)處理的問題中引出了樣條函數(shù)，例如，在1946年Schoenberg將樣條引入數(shù)學,即所謂的樣條函數(shù)，直到五十年代，還多應用于統(tǒng)計數(shù)據(jù)的處理方面，從六十年代起，在航空、造船、汽車等行業(yè)中，開始大量采用樣條函數(shù)。在我國，從六十年代末開始，從船體數(shù)學放樣到飛機外形設(shè)計，逐漸出現(xiàn)了一個使用樣，逐漸出現(xiàn)了一個使用樣條函數(shù)的熱潮，并推廣到數(shù)據(jù)處理的許多問題中。在實際生活中有許多計算問題對插值函數(shù)的光滑性有較高的要求，例如飛機機翼外形、發(fā)動機進、排氣口都要求有連續(xù)的二階導數(shù)，用三次樣條繪制的曲線不僅有很好的光滑度，而且當節(jié)點逐漸加密時其

4、函數(shù)值整體上能很好地逼近被插函數(shù)，相應的導數(shù)值也收斂于被插函數(shù)的導數(shù)值，不會發(fā)生“龍格現(xiàn)象”?，F(xiàn)在國內(nèi)外學者對這方面的研究也越來越重視，根據(jù)我們的需要來解決不同的問題，而且函數(shù)的形式也在不斷地改進，長期以來很多學者致力于樣條插值的研究，對三次樣條的研究已相當成熟。14第一章　三次樣條插值1.1樣條插值函數(shù)簡介在實際問題中所遇到許多函數(shù)往往很復雜，有些甚至是很難找到解析表達式的。有時通過實驗或者數(shù)值計算所得到的也只是一些離散的點上的函數(shù)值，即。根據(jù)函數(shù)已有的數(shù)據(jù)來計算函數(shù)在一些新的點處的函數(shù)值，就是插值法所需要解決的問題。插值法的基本思想就是，首先根據(jù)已有的函

5、數(shù)值來構(gòu)造一個簡單的函數(shù)作為的近似表達式，然后用來計算新的點上的函數(shù)值作為的近似值。通常可以選多項式函數(shù)作為近似函數(shù)，因為多項式具有各階導數(shù)，求值也比見方便。常用的有Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值和樣條插值。線性插值在分段點上僅連續(xù)而不可導，三次埃爾米特插值有連續(xù)的一階導數(shù)，這樣的光滑程度常不能滿足物理問題的需要，樣條函數(shù)可以同時解決這兩個問題,使插值函數(shù)既是低階分段函數(shù),又是光滑的函數(shù)，并且只需在區(qū)間端點提供某些導數(shù)信息。三次樣條函數(shù)定義：設(shè)在區(qū)間上取個節(jié)點，函數(shù)在各個節(jié)點處的函數(shù)值為若滿足：(1)(2)在區(qū)間上，具有連續(xù)的二階

6、導數(shù)；(3)在區(qū)間上,是三次的多項式；則稱是函數(shù)在區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)。由以上定義可以看出，雖然每個子區(qū)間上的多項式可以各不相同，但在相鄰子區(qū)間的連接處卻是光滑的。因此，樣條插值也稱為分段光滑插值。從定義知要求出，在每一個小區(qū)間上確定4個待定系數(shù)，共有n個小區(qū)間，故應有4n個參數(shù)。根據(jù)在上二階導數(shù)連續(xù)，在節(jié)點出滿足連續(xù)性條件14共有3n-3個條件，再加上滿足插值條件共有4n-2個條件，因此還需要2個條件才能確定。通?？稍趨^(qū)間端點上各加一個條件（稱為邊界條件），可根據(jù)實際問題的要求給定，通常有以下三種：（1）已知端點的一階導數(shù)值，即（2）倆端點的二階導數(shù)

7、已知，即其特殊情況稱為自然邊界條件。（3）當是以為周期的函數(shù)時，則要求也是周期函數(shù)。這時邊界條件應滿足而此時。這樣確定的樣條函數(shù)，稱為周期函數(shù)。1.2三次樣條函數(shù)應用作函數(shù)在取間隔為0.1的點圖，用插值進行實驗。使用MATLAB軟件程序代碼如下：%產(chǎn)生原始數(shù)據(jù)x=0:0.1:1;y=(x.^2-3*x+7).*exp(-4*x).*sin(2*x);14%作圖subplot(1,2,1);plot(x,y,x,y,'ro')%待求插值點xx=0:0.02:1;yy=interp1(x,y,xx,'spline');%作圖subplot(1,2,2)plot(

8、x,y,'ro',xx,yy,'b')運行截圖圖1.