第17講函數(shù)圖象及數(shù)字特征

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1、第17講函數(shù)圖象及數(shù)字特征一、要點精講1．函數(shù)圖象（1）作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本講座的重點。作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢）；④描點連線，畫出函數(shù)的圖象。運用描點法作圖象應(yīng)避免描點前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點成線要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究。而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和

2、手段，是一個難點用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換，這也是個難點。（2）三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；①平移變換：Ⅰ、水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個單位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x)y=f(x-h)；Ⅱ、豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個單位即可得到；1）y=f(x)y=f(x)+h；2）y=f(x)y=f(x)-h。②對稱變換：Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱

3、即可得到；y=f(x)y=f(-x)Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；y=f(x)y=-f(x)Ⅲ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱即可得到；y=f(x)y=-f(-x)Ⅳ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱得到。y=f(x)x=f(y)Ⅴ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱即可得到；y=f(x)y=f(2a-x)。③翻折變換：Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留的軸上方部分即可得到；Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像右邊沿軸翻折到軸左邊替代原

4、軸左邊部分并保留在軸右邊部分即可得到④伸縮變換：Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長或壓縮（）為原來的倍得到；y=f(x)y=af(x)Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長或壓縮（）為原來的倍得到。f(x)y=f(x)y=f()（3）識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面。2．冪函數(shù)在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類：圖在考查學(xué)生對冪函數(shù)性的掌握和運用函數(shù)的性質(zhì)解決問題時，所涉及的冪函數(shù)中限于在集合中取值。冪函數(shù)有如下性質(zhì)：⑴它的圖象都過（1，1）點，都不過

5、第四象限，且除原點外與坐標(biāo)軸都不相交；⑵定義域為R或的冪函數(shù)都具有奇偶性，定義域為的冪函數(shù)都不具有奇偶性；⑶冪函數(shù)都是無界函數(shù)；在第一象限中，當(dāng)時為減函數(shù)，當(dāng)時為增函數(shù)；⑷任意兩個冪函數(shù)的圖象至少有一個公共點（1，1），至多有三個公共點；二、典例解析題型1：作圖ABCD例1．如圖所示，單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的２倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是（）解析：顯然當(dāng)時，陰影部分的面積等于圓的面積減去以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，，即點在直線的下方，故應(yīng)在C、D中選擇。而當(dāng)當(dāng)時

6、，陰影部分的面積等于圓的面積加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，，即點在直線的上方，故應(yīng)選擇D。例2．在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（）解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1。拋物線方程是y=a（x+）2－，其頂點坐標(biāo)為（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.觀察選擇支，可選A。解析二：求y=ax2+bx與x軸的交點，令ax2+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0。故選A。題型2：識圖例3．某地一年內(nèi)的氣溫(單位：℃)與時間(月份)之間的關(guān)系如圖所示，已知該年

7、的平均氣溫為10℃，令表示時間段的平均氣溫，與之間的函數(shù)關(guān)系用下圖表示，則正確的應(yīng)該是（）解析：平均氣溫10℃與函數(shù)圖像有兩個交點，觀察圖像可知兩交點的兩側(cè)都低于平均氣溫，而中間高于平均氣溫。時間段內(nèi)的平均氣溫，應(yīng)該從開始持續(xù)到平均氣溫左交點向右一段距離才開始達(dá)到平均氣溫，持續(xù)上升一段時間，最后回落到平均氣溫。答案A。例4．一般地，家庭用電量（千瓦時）與氣溫（℃）有一定的關(guān)系，如圖2—1所示，圖（1）表示某年12個月中每月的平均氣溫.圖（2）表示某家庭在這年12個月中每個月的用電量.根據(jù)這些信息，以下關(guān)于該家庭用電量

8、與其氣溫間關(guān)系的敘述中，正確的是（）圖A．氣溫最高時，用電量最多B．氣溫最低時，用電量最少C．當(dāng)氣溫大于某一值時，用電量隨氣溫增高而增加D．當(dāng)氣溫小于某一值時，用電量隨氣溫漸低而增加解析：經(jīng)比較可發(fā)現(xiàn)，2月份用電量最多，而2月份氣溫明顯不是最高。因此A項錯誤。同理可判斷出B項錯誤。由5、6、7三個月的氣溫和用電量可得出C項正確。題型3：函數(shù)的圖