大學(xué)物理12量子力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題思考題

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1、習(xí)題1212-1．計(jì)算下列客體具有動(dòng)能時(shí)的物質(zhì)波波長(zhǎng)，（1）電子；（2）質(zhì)子。解：（1）具有動(dòng)能的電子，可以試算一下它的速度：，所以要考慮相對(duì)論效應(yīng)。設(shè)電子的靜能量為，總能量可寫(xiě)為：，用相對(duì)論公式：，可得：；（2）對(duì)于具有動(dòng)能的質(zhì)子，可以試算一下它的速度：，所以不需要考慮相對(duì)論效應(yīng)。利用德布羅意波的計(jì)算公式即可得出：。12-2．計(jì)算在彩色電視顯像管的加速電壓作用下電子的物質(zhì)波波長(zhǎng)，已知加速電壓為，（1）用非相對(duì)論公式；（2）用相對(duì)論公式。解：（1）用非相對(duì)論公式：；（2）用相對(duì)論公式：設(shè)電子的靜能為，動(dòng)能為：，由，有：。12-3．設(shè)

2、電子與光子的德布羅意波長(zhǎng)均為0.50nm，試求兩者的動(dòng)量只比以及動(dòng)能之比。解：動(dòng)量為因此電子與光子的動(dòng)量之比為；電子與光子的動(dòng)能之比為12-4．以速度運(yùn)動(dòng)的電子射入場(chǎng)強(qiáng)為的勻強(qiáng)電場(chǎng)中加速，為使電子波長(zhǎng)，電子在此場(chǎng)中應(yīng)該飛行多長(zhǎng)的距離？解：利用能量守恒，有：，考慮到，有：，利用勻強(qiáng)電場(chǎng)公式有：。12-5．用電子顯微鏡來(lái)分辨大小為1的物體，試估算所需要電子動(dòng)能的最小值。（以為單位）解：由于需要分辨大小為1的物體，所以電子束的徳布羅意波長(zhǎng)至少為1，由，有電子的動(dòng)量為：；試算一下它的速度：，所以不考慮相對(duì)論效應(yīng)，則利用，有電子動(dòng)能的最小值：

3、。12-6．設(shè)電子的位置不確定度為，計(jì)算它的動(dòng)量的不確定度；若電子的能量約為，計(jì)算電子能量的不確定度。解：由不確定關(guān)系：，有，由，可推出：。12-7．氫原子的吸收譜線(xiàn)的譜線(xiàn)寬度為，計(jì)算原子處在被激發(fā)態(tài)上的平均壽命。解：能量，由于激發(fā)能級(jí)有一定的寬度，造成譜線(xiàn)也有一定寬度，兩者之間的關(guān)系為：，由不確定關(guān)系，，平均壽命，則：。12-8．若紅寶石發(fā)出中心波長(zhǎng)的短脈沖信號(hào)，時(shí)距為，計(jì)算該信號(hào)的波長(zhǎng)寬度。解：光波列長(zhǎng)度與原子發(fā)光壽命的關(guān)系為：，由不確定關(guān)系：，有：∴。12-9．設(shè)粒子作圓周運(yùn)動(dòng)，試證其不確定性關(guān)系可以表示為，式中為粒子角動(dòng)量的

4、不確定度，為粒子角位置的不確定度。證明：當(dāng)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)半徑為，角動(dòng)量為：，則其不確定度，而做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)：，利用：代入，可得到：。12-10．計(jì)算一維無(wú)限深勢(shì)阱中基態(tài)粒子處在到區(qū)間的幾率。設(shè)粒子的勢(shì)能分布函數(shù)為：解：根據(jù)一維無(wú)限深勢(shì)阱的態(tài)函數(shù)的計(jì)算，當(dāng)粒子被限定在之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，其定態(tài)歸一化的波函數(shù)為：，概率密度為：粒子處在到區(qū)間的幾率：，如果是基態(tài)，，則。12-11．一個(gè)質(zhì)子放在一維無(wú)限深阱中，阱寬。（1）質(zhì)子的零點(diǎn)能量有多大？（2）由態(tài)躍遷到態(tài)時(shí)，質(zhì)子放出多大能量的光子？解：（1）由一維無(wú)限深勢(shì)阱粒子的能級(jí)表達(dá)式：時(shí)為零點(diǎn)能量

5、：（2）由態(tài)躍遷到態(tài)時(shí)，質(zhì)子放出光子的能量為：思考題1212-1．證明玻爾理論中氫原于中的電子軌道是電子德布羅意波長(zhǎng)的整數(shù)倍。證明：設(shè)電子軌道的半徑為，則電子軌道的周長(zhǎng)為，需要證明。玻爾理論中，氫原子中的電子軌道為：而電子的德布羅意波長(zhǎng)：（∵）可見(jiàn)電子軌道：，是德布羅意波長(zhǎng)的整數(shù)倍。12-2．為什么說(shuō)電子既不是經(jīng)典意義的波，也不是經(jīng)典意義的粒子？答：因?yàn)閱蝹€(gè)的電子是不具有波動(dòng)的性質(zhì)的，所以它不是經(jīng)典意義的波，同時(shí)對(duì)于經(jīng)典意義的粒子它的整體行為也不具有波動(dòng)性，而電子卻具有這個(gè)性質(zhì)，所以電子也不是經(jīng)典意義的粒子。12-3．圖中所示為電子

6、波干涉實(shí)驗(yàn)示意圖，為電子束發(fā)射源，發(fā)射出沿不同方向運(yùn)動(dòng)的電子，為極細(xì)的帶強(qiáng)正電的金屬絲，電子被吸引后改變運(yùn)動(dòng)方向，下方的電子折向上方，上方的電子折向下方，在前方交叉區(qū)放一電子感光板，、分別為上、下方電子束的虛電子源，，底板離源S的距離為，設(shè)，電子的動(dòng)量為，試求：（1）電子幾率密度最大的位置；（2）相鄰暗條紋的距離（近似計(jì)算）。答：（1）電子的德布羅意波長(zhǎng)：，類(lèi)似于波的干涉現(xiàn)象，在兩邊的第一級(jí)明紋之間分布的電子最多，所以其幾率最大的位置應(yīng)該在之間；（2）相鄰暗條紋的距離：。12-4．在一維勢(shì)箱中運(yùn)動(dòng)的粒子，它的一個(gè)定態(tài)波函數(shù)如圖所示，

7、對(duì)應(yīng)的總能量為，若它處于另一個(gè)波函數(shù)（如圖所示）的態(tài)上時(shí)，它的總能量是多少？粒子的零點(diǎn)能是多少？答：由一維無(wú)限深勢(shì)阱粒子的能級(jí)表達(dá)式：。在a圖中，，知，所以粒子的零點(diǎn)能；若它處于另一個(gè)波函數(shù)（圖所示，）的態(tài)上時(shí)，它的總能量是：。12-5．圖中所示為一有限深勢(shì)阱，寬為，高為。（1）寫(xiě)出各區(qū)域的定態(tài)薛定諤方程和邊界條件；（2）比較具有相同寬度的有限深勢(shì)阱和無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的最低能量值的大小。答：（1）第I區(qū)域定態(tài)薛定諤方程：，（），第II區(qū)域定態(tài)薛定諤方程：，（和）；邊界條件：，。（2）無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的能量表述式為，最低能量值，顯然與

8、的平方成反比，粒子的自由范圍越大，最低能量值越低，應(yīng)該說(shuō)粒子在相同寬度的有限深勢(shì)阱比在無(wú)限深勢(shì)阱中的自由范圍大一些，所以粒子在有限深勢(shì)阱中的最低能量值低一些。