資源描述：
《矩陣論廣義逆矩陣》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第六章廣義逆矩陣當(dāng)A是n階方陣，且detA≠0時(shí)，A的逆矩陣才存在，此時(shí)線性方程組Ax=b的解可以簡(jiǎn)潔地表示為x=．近幾十年來，由于解決各種問題的需要，人們把逆矩陣的概念推廣到不可逆方陣或長(zhǎng)方矩陣上，從而產(chǎn)生了所謂的廣義逆矩陣．這種廣義逆矩陣具有通常逆矩陣的部分性質(zhì)，并且在方陣可逆時(shí)，它與通常的逆矩陣相一致；而且這種廣義逆矩陣可以給出線性方程組(包括相容的和矛盾的方程組)各種“解”的統(tǒng)一描述．1920年，E.H.Moore首先以比較抽象的形式給出了廣義逆矩陣的概念，由于不知道它的應(yīng)用，所以一直未受到重視．直到1955年R.Penrose利用四個(gè)矩
2、陣方程給出廣義逆矩陣的更簡(jiǎn)便實(shí)用的定義后，它才引起普遍關(guān)注，并得到迅速發(fā)展．目前，廣義逆矩陣已形成了一套既系統(tǒng)又完整的理論，并在許多學(xué)科得到廣泛的應(yīng)用．§6.1廣義逆矩陣的概念定義6.1設(shè)A∈，如果X∈滿足下列四個(gè)Penrose方程(1)AXA=A；(2)XAX=X；(3)；(4)的某幾個(gè)或全部，則稱X為A的廣義逆矩陣，滿足全部四個(gè)方程的廣義逆矩陣X稱為A的Moore-Penrose逆．顯然，如果A是可逆矩陣，則滿足四個(gè)Penrose方程．按照這一定義，可以分為滿足一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)或四個(gè)Penrose方程的廣義逆矩陣，一共有類．以下定理表明，Mo
3、ore-Penrose逆是存在并且惟一的，從而上述的15類廣義逆矩陣都是存在的．定理6.1設(shè)，則A的Moore-Penrose逆存在且惟一．證設(shè)rankA＝r．若r＝0，則A是m×n零矩陣，可以驗(yàn)證n×m零矩陣滿足四個(gè)Penrose方程．若r>0，由定理4．19知，存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V使得其中∑=diag，而是A的非零奇異值．記則易驗(yàn)證X滿足四個(gè)Penrose方程，故A的Moore-Penrose逆存在．再證惟一性．設(shè)X，Y15都滿足四個(gè)Penrose方程，則(為了敘述簡(jiǎn)明，在等號(hào)上注明了推演時(shí)所依據(jù)的方程號(hào))從而A的Moore-Pen
4、rose逆是惟一的．證畢需要指出的是只要A不不可逆矩陣，則除Moore-Penrose逆以外的其他14類廣義逆矩陣都不是惟一的．定義6.2設(shè)，若滿足Penrose方程中的第(i)，(j)，…，(l)等方程，則稱X為A的{i，j，…，l}-逆，記為，其全體記為A{i，j，…，l}．A的惟一的Meore-Penrose逆記為，也稱之為A的加號(hào)逆．在上述15類廣義逆矩陣中，應(yīng)用較多的是以下5類：A{1}，A{1，2}，A{1，3}，A{1，4}，由于{1}-逆是最基本的，而惟一且同時(shí)包含在15類廣義逆矩陣集合中，所以與在廣義逆矩陣中占有十分重要的地位．
5、以下主要對(duì)這兩類廣義逆矩陣進(jìn)行討論．§6.2{1}-逆及其應(yīng)用一、{1}-逆的計(jì)算及有關(guān)性質(zhì)利用定理4.14的結(jié)果可以方便地求出{1}-逆．定理6.2設(shè)(r>0)，且有和n階置換矩陣P使得則對(duì)任意矩陣是A的{1}-逆；當(dāng)L=O時(shí)，X是A的{1，2}-逆．證因?yàn)槿菀昨?yàn)證，由式(6.1)給出的矩陣X滿足AXA=A．所以X∈A{1}．當(dāng)L=O時(shí)，易知式(6.1)的矩陣X還滿足XAX=A，故X∈A{1，2}．證畢15需要指出的是，式(6.1)中矩陣L任意變化時(shí)，所得到的矩陣X并非是滿足AXA=A的所有矩陣，即只是A{1}的一個(gè)子集．例6．1已知矩陣，求．
6、解4．8已求得，使得從而由式（6．1），得利用等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形可以求出{1}-逆的全體．定理6．3設(shè)，且和使得15則，（6．2）證可知令X=TS．直接驗(yàn)證知AXA=A，即X∈A{1}．反之，若X∈A{1}，可設(shè)由AXA=A，得當(dāng)，而，和為適當(dāng)階的任意矩陣時(shí)，上式成立．故式(6．2)右邊給出了A的所有{1}-逆．證畢推論設(shè)，則A有惟一{1}-逆的充分必要條件是m=n，且rankA=n，即A可逆．這個(gè)惟一的{1}-逆就是．下面定理給出了{(lán)1}-逆的一些性質(zhì)．定理6．4設(shè)，，則(1)，；(2)，其中λ∈C，且（6．3）15(3)當(dāng)，時(shí)，有；(4)；(5)；(
7、6)的充分必要條件是rankA=m；(7)的充分必要條件是rankA=n．證(1)～(3)由定義直接得到；(4)rankA＝rank；(5)與(4)的證明類似；(6)如果，則由(5)，得反之，如果rankA=m．則由(5)知，=rankA=m．又是m階方陣，從而它是可逆矩陣．注意到，兩邊同乘即得；同理可證(7)．證畢二、{1}-逆的應(yīng)用利用{1}-逆可以求解矩陣方程及線性方程組．定理6.5設(shè)，，．則矩陣方程AXB=D有解的充分必要條件是(6.4)其中，，當(dāng)矩陣方程有解時(shí)，其通解為(任意)(6．5)證如果式(6．4)成立，則是AXB=D的解．反之，
8、如果AXB=D有解，則將式(6．5)代入矩陣方程AXB＝D的左邊并利用式(6.4)及｛1｝-逆的定義，可推出等于D，這說明式(6．5)是
