標(biāo)準(zhǔn)偏差與相對標(biāo)準(zhǔn)偏差公式(匯編版)

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1、標(biāo)準(zhǔn)偏差出自MBA智庫百科(http://wiki.mbalib.com/)相對標(biāo)準(zhǔn)方差的計算公式　準(zhǔn)確度：測定值與真實值符合的程度絕對誤差：測量值（或多次測定的平均值）與真（實）值之差稱為絕對誤差，用δ表示。相對誤差：絕對誤差與真值的比值稱為相對誤差。常用百分?jǐn)?shù)表示。　　絕對誤差可正可負(fù)，可以表明測量儀器的準(zhǔn)確度，但不能反映誤差在測量值中所占比例，相對誤差反映測量誤差在測量結(jié)果中所占的比例，衡量相對誤差更有意義。15　　例：用刻度0.5cm的尺測量長度，可以讀準(zhǔn)到0.1cm，該尺測量的絕對誤差為0.1cm；用刻度1mm的尺測量長度，可以讀準(zhǔn)到0.1mm，該尺

2、測量的絕對誤差為0.1mm。　　例：分析天平稱量誤差為0.1mg,減重法需稱2次，可能的最大誤差為0.2mg,為使稱量相對誤差小于0.1%，至少應(yīng)稱量多少樣品？　　　答：稱量樣品量應(yīng)不小于0.2g。真值（μ）：真值是客觀存在的，但任何測量都存在誤差，故真值只能逼近而不可測知，實際工作中，往往用“標(biāo)準(zhǔn)值”代替“真值”。標(biāo)準(zhǔn)值：采用多種可靠的分析方法、由具有豐富經(jīng)驗的分析人員經(jīng)過反復(fù)多次測定得出的結(jié)果平均值。精密度：幾次平行測定結(jié)果相互接近的程度?！　「鞔螠y定結(jié)果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。偏差：單次測量值與樣本平均值之差：平均偏差：各次測量偏差絕對值的

3、平均值。相對平均偏差：平均偏差與平均值的比值。標(biāo)準(zhǔn)偏差：各次測量偏差的平方和平均值再開方，比平均偏差更靈敏的反映較大偏差的存在，在統(tǒng)計學(xué)上更有意義。相對標(biāo)準(zhǔn)偏差（變異系數(shù)）15　　例：分析鐵礦石中鐵的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，得到如下數(shù)據(jù)：37.45，37.20，37.50，37.30，37.25（%），計算測結(jié)果的平均值、平均偏差、相對平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、變異系數(shù)。準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系：　　1）精密度是保證準(zhǔn)確度的先決條件：精密度不符合要求，表示所測結(jié)果不可靠，失去衡量準(zhǔn)確度的前提。　　2）精密度高不能保證準(zhǔn)確度高?！　Q言之，準(zhǔn)確的實驗一定是精密的，精密的實驗不一定是準(zhǔn)確

4、的。重復(fù)性試驗按擬定的含量測定方法，對同一批樣品進行多次測定(平行試驗至少5次以上，即n>5)，計算相對標(biāo)準(zhǔn)偏差(RSD)，一般要求低于5%15　　數(shù)學(xué)表達式：　　·S-標(biāo)準(zhǔn)偏差（%）·n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般n值不應(yīng)少于20-30個·i-物料中某成分的各次測量值，1～n；標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法　六個計算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式[1]標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計算公式　　設(shè)對真值為X的某量進行一組等精度測量,其測得值為l1、l2、……ln。令測得值l與該量真值X之差為真差占σ,則有　　　　σ1=li?X　　σ2=l2?X　　……　　σn=ln?X　　我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差(也稱標(biāo)準(zhǔn)

5、差)σ為15　　　　（1）　　由于真值X都是不可知的,因此真差σ占也就無法求得,故式只有理論意義而無實用價值。標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的常用估計—貝塞爾公式　　由于真值是不可知的,在實際應(yīng)用中,我們常用n次測量的算術(shù)平均值來代表真值。理論上也證明,隨著測量次數(shù)的增多,算術(shù)平均值最接近真值,當(dāng)時,算術(shù)平均值就是真值?！　∮谑俏覀冇脺y得值li與算術(shù)平均值之差——剩余誤差（也叫殘差）Vi來代替真差σ,即　　　　設(shè)一組等精度測量值為l1、l2、……ln　　則　　　　　　　　　……　　　　　　通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差σ與剩余誤差V的關(guān)系為　　　　將上式代入式(1)有15　　　　　　　(2

6、)　　式(2)就是著名的貝塞爾公式(Bessel)?！　∷糜谟邢薮螠y量次數(shù)時標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算。由于當(dāng)時，,可見貝塞爾公式與σ的定義式(1)是完全一致的?！　?yīng)該指出,在n有限時,用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的一個估計值。它不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。因此,我們稱式(2)為標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的常用估計。為了強調(diào)這一點,我們將σ的估計值用“S”表示。于是,將式(2)改寫為　　　　(2')　　在求S時,為免去求算術(shù)平均值的麻煩,經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過程從略)有　　　　于是,式(2')可寫為　　　　(2")　　按式(2")求S時,只需求出各測得值的平方和和各測得值之和的平方藝,即可。標(biāo)準(zhǔn)

7、偏差σ的無偏估計　　數(shù)理統(tǒng)計中定義S2為樣本方差15　　　　數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明S2是總體方差σ2的無偏估計。即在大量重復(fù)試驗中,S2圍繞σ2散布,它們之間沒有系統(tǒng)誤差。而式(2')在n有限時,S并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無偏估計,也就是說S和σ之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計告訴我們,對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體,總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無偏估計值為　　　　(3)　　令　　則　　即S1和S僅相差一個系數(shù)Kσ,Kσ是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關(guān)的一個系數(shù),Kσ值見表?！　∮嬎鉑σ時用到　　Γ(n+1)=nΓ(n)　　　　Γ(1)=115　　由表1知,當(dāng)n>30時,。因此,當(dāng)n>30時,式(3

8、')和式(2')之間的差異可略而不計。