2012廣東高考數(shù)學：有關(guān)任意、存在、至少、恒成立問題

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1、有關(guān)任意、存在、至少、恒成立問題2012-5-291．（本小題滿分14分）已知函數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。K^S*5U.C（Ⅱ）若上恒成立，求實數(shù)的取值范圍（求f(x)的最大值）（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對任意的，求證：。解：（Ⅰ）當時，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；………2分當時，由，則K^S*5U.C則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．　　…………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當時顯然不成立；　　　　　　　　　　　　當時，,只需即可　．　　　　　　　　　　　　　　…………………………．6分令,則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，即對恒成立，也就是對恒成立，∴解得，…………………………9分∴若在

2、上恒成立，=1．……………10分分析;即求的取值范圍，因為要不大于0，而是小于或等于0，所以只有，解得，10(Ⅲ）,　………11分由得,由（Ⅱ）得：,………12分則,K^S*5U.C則原不等式成立?。　　　　　摺羁肌豳Y♀源€……………………14分2（本小題共14分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；(II)若在區(qū)間上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（I）因為，…………………2分當，，令，得，…………………3分又的定義域為，，隨的變化情況如下表：0極小值所以時，的極小值為1.…………………5分的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；…………………6分（II）解法一：10

3、因為，且，令，得到，若在區(qū)間上存在一點，使得成立，其充要條件是在區(qū)間上的最小值小于0即可.…………………7分（1）當，即時，對成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上的最小值為，由，得，即…………………9分（2）當，即時，①若，則對成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，在區(qū)間上的最小值為，顯然，在區(qū)間上的最小值小于0不成立…………………11分②若，即時，則有極小值所以在區(qū)間上的最小值為，由，得，解得，即.…………………13分綜上，由(1)（2）可知：符合題意.…………………14分解法二：若在區(qū)間上存在一點，使得成立，即，10因為,所以，只需…………………7分令，只要在區(qū)間上的最小值小于0即可因

4、為，令，得…………………9分（1）當時：極大值因為時，，而，只要，得，即…………………11分（2）當時：極小值所以，當時，極小值即最小值為，由，得，即.………13分綜上，由(1)（2）可知，有.………14分3[2011·山東青島一模]已知函數(shù)．(1)若,令函數(shù),求函數(shù)在上的極大值、極小值；(2)若函數(shù)在上恒為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.解：(1)，所以．由得或．10所以函數(shù)在處取得極小值；在處取得極大值．(２)因為的對稱軸為．①若即時，要使函數(shù)在上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，則有，解得：，所以；②若即時，要使函數(shù)在上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，則有，解得：，所以．綜上，實數(shù)的取值范圍為．4．（本小題共14

5、分）已知，函數(shù)，，.（Ⅰ）當時,求函數(shù)在點的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在的極值;（Ⅲ）若在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使成立，求正實數(shù)的取值范圍．解:由求導得，.…………1分（Ⅰ）當時,…………3分所以在點的切線方程是…………4分（Ⅱ）令,(1)當即時(-1,0)0+0-0+10↗極大值↘極小值↗………6分故的極大值是;極小值是;…………7分(2)當即時在上遞增,在上遞減,…………8分所以的極大值為,無極小值.…………9分（Ⅲ）設.對求導，得，……………10分因為，，所以，在區(qū)間上為增函數(shù)，則.……12分依題意，只需，即，即，解得或（舍去）.所以正實數(shù)的取值范圍是.……14分5.（本小題滿分14分

6、）已知函數(shù).(Ⅰ)若，求曲線在處切線的斜率；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.轉(zhuǎn)化為.解：(Ⅰ)由已知，………………2分.故曲線在處切線的斜率為.………………4分(Ⅱ).………………5分①當時，由于，故，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為.………………6分②當時，由，得.10在區(qū)間上，，在區(qū)間上，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.………………8分（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為.………………9分………………10分由(Ⅱ)知，當時，在上單調(diào)遞增，值域為，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)………………11分當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值即為最

7、大值，，………13分所以，解得.………………14分6．（本小題共14分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間（，0）上至少有一個極值，求實數(shù)的取值范圍。解（Ⅰ）當時，1分，2分令得3分∴在（－，1）上單調(diào)遞增4分（Ⅱ），5分①當時，，易知在處取得極小值，適合題意；②時，函數(shù)在區(qū)間（-，0）上至少有一個極值，則說明的圖像穿過10軸負半軸；為二次函數(shù)，則或11分解得或13分綜上，時滿足題意14分7(2